Mudanças entre as edições de "Mudança de Variáveis"
m |
m |
||
Linha 1: | Linha 1: | ||
;Equação de Navier-Stokes: | ;Equação de Navier-Stokes: | ||
− | <math> | + | <math> \begin{array}{l} |
\vec{u}_t + (\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} = -\nabla p +\displaystyle\frac{1}{Re}\nabla^2 \vec{u} \\ | \vec{u}_t + (\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} = -\nabla p +\displaystyle\frac{1}{Re}\nabla^2 \vec{u} \\ | ||
\nabla \cdot u = 0\\ | \nabla \cdot u = 0\\ | ||
\end{array} | \end{array} | ||
− | + | </math> | |
Edição das 11h12min de 25 de junho de 2009
- Equação de Navier-Stokes
<math> \begin{array}{l}
\vec{u}_t + (\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} = -\nabla p +\displaystyle\frac{1}{Re}\nabla^2 \vec{u} \\ \nabla \cdot u = 0\\
\end{array} </math>
- Vorticidade
- <math>\zeta = \nabla \times \vec{u} \cdot \vec{k}</math>
- Função corrente <math> \psi </math>
- <math>\vec{u} = (\nabla\psi)\times k</math>
Assim <math>\nabla\cdot\vec{u} = \nabla \cdot(\nabla\psi\times k) = \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial \psi}{\partial y} \right) + \frac{\partial}{\partial y}\left( -\frac{\partial \psi}{\partial x} \right) =0 </math>
Identidade 1) <math> (\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} = (\nabla \times \vec{u})\times \vec{u} + \nabla\left( \frac{1}{2}||\vec{u}||^2 \right) = \zeta k \times \vec{u} + \nabla\left( \frac{1}{2}||\vec{u}||^2 \right) </math>
Identidade 2) <math> \nabla \times (\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{a} \nabla \cdot \vec{b} - \vec{b} \nabla \cdot \vec{a} + (\vec{b} \cdot \nabla)\vec{a} - (\vec{a} \cdot \nabla)\vec{b} </math>
Aplicando <math> \nabla \times </math> na equação
<math> (\nabla \times \vec{u})_t + \nabla \times \{ (\vec{u} \cdot \nabla)\vec{u} \} = \frac{1}{Re}\nabla^2(\nabla \times \vec{u}) </math>
Usando a identidade (1)
<math> (\nabla \times \vec{u})_t + \nabla \times (\zeta \vec{k} \times \vec{u}) = \frac{1}{Re}\nabla^2(\nabla \times \vec{u}) </math>
<math> (\zeta\vec{k})_t + \nabla\times(\zeta\vec{k}\times\vec{u}) = \frac{1}{Re}\nabla^2(\zeta\vec{k}) </math>
Da identidade (2) com <math> \vec{a}=\nabla\times\vec{u} </math> e <math> \vec{b}=\vec{u} </math> e usando que <math> \nabla\cdot\vec{u}=0 </math>, temos
<math> \nabla\times(\zeta\vec{k}\times\vec{u}) = \nabla \times \{(\nabla\times\vec{u})\times\vec{u}\} = (\vec{u}\cdot\nabla)\nabla\times\vec{u} - (\nabla\times\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} </math>
<math> \vec{u} = \vec{u}(x,y,t) \Longrightarrow (\nabla\times\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u}=0 </math>
pois <math> \vec{u} </math> não depende de <math> z </math> .
Segue-se que
<math> \nabla\times(\zeta\vec{k}\times\vec{u}) = (\vec{u}\cdot\nabla)\nabla\times\vec{u} = (\vec{u}\cdot\nabla)\zeta\vec{u} </math> Portanto <math> (\zeta\vec{k})_t + (\vec{u}\cdot\nabla)\zeta\vec{k} = \frac{1}{Re}\nabla^2(\zeta\vec{k}) </math>
<math> \vec{u} = \nabla\psi\times\vec{k} \Longrightarrow (\vec{u}\cdot\nabla)\zeta\vec{k} = \frac{\partial(\zeta,\psi)}{\partial(x,y)}\vec{k} = J(\zeta,\psi)\vec{k} </math>
Então <math>(\zeta\vec{k})_t + J(\zeta,\psi)\vec{k} = \frac{1}{Re}\nabla^2(\zeta\vec{k}) </math>
Além disso, como <math> \vec{u} = \nabla\psi\times\vec{k} </math> e <math> \zeta = \nabla\times\vec{u}\cdot\vec{k} </math> temos
<math> \nabla\times(\nabla\psi\times\vec{k})=\nabla\times(\psi_y,-\psi_x) = -\psi_{xx}-\psi_{yy} = -\nabla^2\psi </math>
Ou seja
<math>-\nabla^2\psi = \zeta </math>
E as equações ficam
<math> \left\{\begin{array}{l}
\zeta_t + J(\zeta,\psi) = \displaystyle\frac{1}{Re}\nabla^2\zeta \\ -\nabla^2\psi = \zeta \\
\end{array} \right. </math>