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1. (20 pontos) Considere uma m\'{a}quina em ponto flutuante com nota\c{c}\~{a}o deslocada (BIAS) para o expoente, um bit extra para o sinal da mantissa e arredondamento por \underline{corte} com $F=(\beta, |M|,|E|,BIAS)=(2,5,5,8)$.
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__MATHJAX_DOLLAR__
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#  Qual o menor e maior expoente nessa m\'{a}quina, $E_{MIN}$ e $E_{MAX}$ respectivamente?
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#  Represente $x=(5.2)_{10}$ em bin\'{a}rio nesta m\'{a}quina.
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1. (20 pontos) Considere uma máquina em ponto flutuante com notação deslocada (BIAS) para o expoente, um bit extra para o sinal da mantissa e arredondamento por corte com $F=(\beta, |M|,|E|,BIAS)=(2,5,5,8)$.
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#  Sendo $\tilde{x}$ a representa\c{c}\~{a}o de $5.2$ nesta m\'{a}quina, descubra o menor valor de $h$ tal que $\tilde{x}+h$ seja diferente de $\tilde{x}$. Represente $h$ nesta m\'{a}quina.
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#  Qual o menor e maior expoente nessa máquina, $E_{MIN}$ e $E_{MAX}$ respectivamente?
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#  Represente $x=(5.2)_{10}$ em binário nesta máquina.
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#  Sendo $\tilde{x}$ a representação de $5.2$ nesta máquina, descubra o menor valor de $h$ tal que $\tilde{x}+h$ seja diferente de $\tilde{x}$. Represente $h$ nesta máquina.
 
#  Considere $V= \{2^{-9}, 0.25, 0.3, 3, \pi, 1024, 1025,  2048, 4096 \}$. Quais elementos de $V$ podem ser representados em $F$ sem erro?  
 
#  Considere $V= \{2^{-9}, 0.25, 0.3, 3, \pi, 1024, 1025,  2048, 4096 \}$. Quais elementos de $V$ podem ser representados em $F$ sem erro?  
  
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2. (20 pontos) Considere a fun\c{c}\~{a}o $f(x)=x^2-x^3$ e uma m\'{a}quina $F=(\beta, |M|,E_{MIN},E_{MAX})=(10,4,-19,18)$.
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2. (20 pontos) Considere a função $f(x)=x^2-x^3$ e uma máquina $F=(\beta, |M|,E_{MIN},E_{MAX})=(10,4,-19,18)$.
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#  Calcule $f(1.000\times 10^{-5})$ e $f(1.001\times 10^{0})$ NESTA m\'{a}quina.
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#  Calcule $f(1.000\times 10^{-5})$ e $f(1.001\times 10^{0})$ NESTA máquina.
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#  Para quais $x$ a fun\c{c}\~{a}o $f(x)$ possui perda de d\'{\i}gitos significativos? Justifique a resposta.
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#  Para quais $x$ a função $f(x)$ possui perda de dígitos significativos? Justifique a resposta.
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#  Para quais $x$ a fun\c{c}\~{a}o $f(x)$ \'{e} mal condicionada?
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#  Para quais $x$ a função $f(x)$ é mal condicionada?
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#  A s\'{e}rie de Taylor de $e^x= 1 +x+ \frac{x^2}{2!}+ \frac{x^3}{3!}+ \frac{x^4}{4!} ...$ Qual o menor n\'{u}mero de termos que devem ser somados para obtermos o valor de $e$ com exatid\~{a}o m\'{a}xima para esta m\'{a}quina?
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#  A série de Taylor de $e^x= 1 +x+ \frac{x^2}{2!}+ \frac{x^3}{3!}+ \frac{x^4}{4!} ...$ Qual o menor número de termos que devem ser somados para obtermos o valor de $e$ com exatidão máxima para esta máquina?
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3. (10 pontos) Considere as funções $f(x)=2 \sin(x)$ e $h(x)=x^2-1$.
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#  Indique um intervalo de tamanho $1$ que contém uma intersecção entre $f$ e $h$.
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#  Realize $3$ iterações do método da bissecção. Qual o valor aproximado da intersecção e o erro estimado na sua resposta.
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4. (15 pontos) Considere um método de iteração de ponto fixo $x_{n+1}=g(x_n)$.
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#  Encontre uma função $g(x)$ que corresponda a solução $2 \sin(x)-x^2=-1$.
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#  Calcule 3 iterações do método de ponto fixo para a $g$ acima.
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#  O método está convergindo? baseie sua resposta em $g'(x)$.
  
  
  
  
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3. (10 pontos) Considere as fun\c{c}\~{o}es $f(x)=2 \sen(x)$ e $h(x)=x^2-1$.
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5. (15 pontos) Utilize o método de Newton para aproximar uma raiz de $F(x)=2 \sin(x)-x^2+1$ com 3 casas decimais corretas.
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#  Indique um intervalo de tamanho $1$ que cont\'{e}m uma intersec\c{c}\~{a}o entre $f$ e $h$.
 
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#  Realize $3$ itera\c{c}\~{o}es do m\'{e}todo da bissec\c{c}\~{a}o. Qual o valor aproximado da intersec\c{c}\~{a}o e o erro estimado na sua resposta.
 
  
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4. (15 pontos) Considere um m\'{e}todo de itera\c{c}\~{a}o de ponto fixo $x_{n+1}=g(x_n)$.
 
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#  Encontre uma fun\c{c}\~{a}o $g(x)$ que corresponda a solu\c{c}\~{a}o $2 \sen(x)-x^2=-1$.
 
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#  Calcule 3 itera\c{c}\~{o}es do m\'{e}todo de ponto fixo para a $g$ acima.
 
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#  O m\'{e}todo est\'{a} convergindo? baseie sua resposta em $g'(x)$.
 
  
  
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6. (20 pontos)  Considere o polinômio $q(z)=z^3+z^2+z+c$.
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#  As raízes de $q(z)$ satisfazem $|z| \leq  1 + \frac{\max_{0\leq k<n} |a_k|}{|a_n|}$. Para quais $c$ podemos garantir que as raízes de $q$ satisfazem $|z|\leq 3$?
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#  Para que $q(z)$ seja divisível por $(z-2)$, qual deve ser o valor de $c$?
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#  Para quais valores de $c$ o polinômio $q(z)$ terá raízes positivas não-nulas?
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#  Para quais valores de $c$ o polinômio $q(z)$ terá raízes complexas?
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== Solução ==
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1. (20 pontos) Considere uma máquina em ponto flutuante com notação deslocada (BIAS) para o expoente, um bit extra para o sinal da mantissa e arredondamento por corte com $F=(\beta, |M|,|E|,BIAS)=(2,5,5,8)$.
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#  Qual o menor e maior expoente nessa máquina, $E_{MIN}$ e $E_{MAX}$ respectivamente?
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#:  $E_{MIN}=(00001)_2= -7$ e $E_{MAX}=(11110)_2=22$
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#  Represente $x=(5.2)_{10}$ em binário nesta máquina.
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#: $1.01001 * 2^{2}= (0|01010|01001)$
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#  Sendo $\tilde{x}$ a representação de $5.2$ nesta máquina, descubra o menor valor de $h$ tal que $\tilde{x}+h$ seja diferente de $\tilde{x}$. Represente $h$ nesta máquina.
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#: $h=1.00000 \times 2^(-3)= (0|00101|00000)$
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#  Considere $V= \{2^{-9}, 0.25, 0.3, 3, \pi, 1024, 1025,  2048, 4096 \}$. Quais elementos de $V$ podem ser representados em $F$ sem erro?
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#: $\{0.25, 3, 1024, 2048, 4096 \}$
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2. (20 pontos) Considere a função $f(x)=x^2-x^3$ e uma máquina $F=(\beta, |M|,E_{MIN},E_{MAX})=(10,4,-19,18)$.
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#  Calcule $f(1.000\times 10^{-5})$ e $f(1.001\times 10^{0})$ NESTA máquina.
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#: $f(1.000\times 10^{-5})=1.000 \times 10^{-10}$ e $f(1.001\times 10^{0})=1.000\times 10^{-3}$
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#  Para quais $x$ a função $f(x)$ possui perda de dígitos significativos? Justifique a resposta.
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#: Para $x$ próximo de 1, $|x-1|<tol$, ou seja $ 1-tol<x<1+tol$
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#  Para quais $x$ a função $f(x)$ é mal condicionada?
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#: $|\frac{2-3x}{1-x}|>C$, quando $x \approx 1$.
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#  A série de Taylor de $e^x= 1 +x+ \frac{x^2}{2!}+ \frac{x^3}{3!}+ \frac{x^4}{4!} ...$ Qual o menor número de termos que devem ser somados para obtermos o valor de $e$ com exatidão máxima para esta máquina?
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#: 7
  
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3. (10 pontos) Considere as funções $f(x)=2 \sin(x)$ e $h(x)=x^2-1$.
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#  Indique um intervalo de tamanho $1$ que contém uma intersecção entre $f$ e $h$.
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#: $[-1,0]$
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#  Realize $3$ iterações do método da bissecção. Qual o valor aproximado da intersecção e o erro estimado na sua resposta.
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#: $x\approx -0.4375$ com $|erro|\approx 0.0625$
  
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5. (15 pontos) Utilize o m\'{e}todo de Newton para aproximar uma raiz de $F(x)=2 \sen(x)-x^2+1$ com 3 casas decimais corretas.
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4. (15 pontos) Considere um método de iteração de ponto fixo $x_{n+1}=g(x_n)$.
 +
#  Encontre uma função $g(x)$ que corresponda a solução $2 \sin(x)-x^2=-1$.
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#: Ex.: $g(x)=\sqrt(2 \sin(x)+1$
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#  Calcule 3 iterações do método de ponto fixo para a $g$ acima.
 +
#: Com esta $g$, e $x_0=1$, temos $x_3 \approx 1.036166481$
 +
#  O método está convergindo? baseie sua resposta em $g'(x)$.
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#: Sim, pois $|g'(x_3)|<1$.
  
 +
5. (15 pontos)  Utilize o método de Newton para aproximar uma raiz de $F(x)=2 \sin(x)-x^2+1$ com 3 casas decimais corretas.
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#: $x\approx 0.423028...$
  
  
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6. (20 pontos)  Considere o polin\^{o}mio $q(z)=z^3+z^2+z+c$.
+
6. (20 pontos)  Considere o polinômio $q(z)=z^3+z^2+z+c$.
−
#  As ra\'{\i}zes de $q(z)$ satisfazem $|z| \leq  1 + \frac{\max_{0\leq k<n} |a_k|}{|a_n|}$. Para quais $c$ podemos garantir que as ra\'{\i}zes de $q$ satisfazem $|z|\leq 3$?
+
#  As raízes de $q(z)$ satisfazem $|z| \leq  1 + \frac{\max_{0\leq k<n} |a_k|}{|a_n|}$. Para quais $c$ podemos garantir que as raízes de $q$ satisfazem $|z|\leq 3$?
−
#  Para que $q(z)$ seja divis\'{\i}vel por $(z-2)$, qual deve ser o valor de $c$?
+
#: $-2 \leq c \leq 2$
−
#  Para quais valores de $c$ o polin\^{o}mio $q(z)$ ter\'{a} ra\'{\i}zes positivas n\~{a}o-nulas?
+
#  Para que $q(z)$ seja divisível por $(z-2)$, qual deve ser o valor de $c$?
−
#  Para quais valores de $c$ o polin\^{o}mio $q(z)$ ter\'{a} ra\'{\i}zes complexas?
+
#: $c=-14$
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#  Para quais valores de $c$ o polinômio $q(z)$ terá raízes positivas não-nulas?
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#: $d<0$
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#  Para quais valores de $c$ o polinômio $q(z)$ terá raízes complexas?
 +
#: Para qualquer $d$.

Edição atual tal como às 13h08min de 17 de dezembro de 2012

__MATHJAX_DOLLAR__

1. (20 pontos) Considere uma máquina em ponto flutuante com notação deslocada (BIAS) para o expoente, um bit extra para o sinal da mantissa e arredondamento por corte com $F=(\beta, |M|,|E|,BIAS)=(2,5,5,8)$.

  1. Qual o menor e maior expoente nessa máquina, $E_{MIN}$ e $E_{MAX}$ respectivamente?
  2. Represente $x=(5.2)_{10}$ em binário nesta máquina.
  3. Sendo $\tilde{x}$ a representação de $5.2$ nesta máquina, descubra o menor valor de $h$ tal que $\tilde{x}+h$ seja diferente de $\tilde{x}$. Represente $h$ nesta máquina.
  4. Considere $V= \{2^{-9}, 0.25, 0.3, 3, \pi, 1024, 1025, 2048, 4096 \}$. Quais elementos de $V$ podem ser representados em $F$ sem erro?

2. (20 pontos) Considere a função $f(x)=x^2-x^3$ e uma máquina $F=(\beta, |M|,E_{MIN},E_{MAX})=(10,4,-19,18)$.

  1. Calcule $f(1.000\times 10^{-5})$ e $f(1.001\times 10^{0})$ NESTA máquina.
  2. Para quais $x$ a função $f(x)$ possui perda de dígitos significativos? Justifique a resposta.
  3. Para quais $x$ a função $f(x)$ é mal condicionada?
  4. A série de Taylor de $e^x= 1 +x+ \frac{x^2}{2!}+ \frac{x^3}{3!}+ \frac{x^4}{4!} ...$ Qual o menor número de termos que devem ser somados para obtermos o valor de $e$ com exatidão máxima para esta máquina?

3. (10 pontos) Considere as funções $f(x)=2 \sin(x)$ e $h(x)=x^2-1$.

  1. Indique um intervalo de tamanho $1$ que contém uma intersecção entre $f$ e $h$.
  2. Realize $3$ iterações do método da bissecção. Qual o valor aproximado da intersecção e o erro estimado na sua resposta.

4. (15 pontos) Considere um método de iteração de ponto fixo $x_{n+1}=g(x_n)$.

  1. Encontre uma função $g(x)$ que corresponda a solução $2 \sin(x)-x^2=-1$.
  2. Calcule 3 iterações do método de ponto fixo para a $g$ acima.
  3. O método está convergindo? baseie sua resposta em $g'(x)$.



5. (15 pontos) Utilize o método de Newton para aproximar uma raiz de $F(x)=2 \sin(x)-x^2+1$ com 3 casas decimais corretas.


6. (20 pontos) Considere o polinômio $q(z)=z^3+z^2+z+c$.

  1. As raízes de $q(z)$ satisfazem $|z| \leq 1 + \frac{\max_{0\leq k<n} |a_k|}{|a_n|}$. Para quais $c$ podemos garantir que as raízes de $q$ satisfazem $|z|\leq 3$?
  2. Para que $q(z)$ seja divisível por $(z-2)$, qual deve ser o valor de $c$?
  3. Para quais valores de $c$ o polinômio $q(z)$ terá raízes positivas não-nulas?
  4. Para quais valores de $c$ o polinômio $q(z)$ terá raízes complexas?


Solução

1. (20 pontos) Considere uma máquina em ponto flutuante com notação deslocada (BIAS) para o expoente, um bit extra para o sinal da mantissa e arredondamento por corte com $F=(\beta, |M|,|E|,BIAS)=(2,5,5,8)$.

  1. Qual o menor e maior expoente nessa máquina, $E_{MIN}$ e $E_{MAX}$ respectivamente?
    $E_{MIN}=(00001)_2= -7$ e $E_{MAX}=(11110)_2=22$
  2. Represente $x=(5.2)_{10}$ em binário nesta máquina.
    $1.01001 * 2^{2}= (0|01010|01001)$
  3. Sendo $\tilde{x}$ a representação de $5.2$ nesta máquina, descubra o menor valor de $h$ tal que $\tilde{x}+h$ seja diferente de $\tilde{x}$. Represente $h$ nesta máquina.
    $h=1.00000 \times 2^(-3)= (0|00101|00000)$
  4. Considere $V= \{2^{-9}, 0.25, 0.3, 3, \pi, 1024, 1025, 2048, 4096 \}$. Quais elementos de $V$ podem ser representados em $F$ sem erro?
    $\{0.25, 3, 1024, 2048, 4096 \}$

2. (20 pontos) Considere a função $f(x)=x^2-x^3$ e uma máquina $F=(\beta, |M|,E_{MIN},E_{MAX})=(10,4,-19,18)$.

  1. Calcule $f(1.000\times 10^{-5})$ e $f(1.001\times 10^{0})$ NESTA máquina.
    $f(1.000\times 10^{-5})=1.000 \times 10^{-10}$ e $f(1.001\times 10^{0})=1.000\times 10^{-3}$
  2. Para quais $x$ a função $f(x)$ possui perda de dígitos significativos? Justifique a resposta.
    Para $x$ próximo de 1, $|x-1|<tol$, ou seja $ 1-tol<x<1+tol$
  3. Para quais $x$ a função $f(x)$ é mal condicionada?
    $|\frac{2-3x}{1-x}|>C$, quando $x \approx 1$.
  4. A série de Taylor de $e^x= 1 +x+ \frac{x^2}{2!}+ \frac{x^3}{3!}+ \frac{x^4}{4!} ...$ Qual o menor número de termos que devem ser somados para obtermos o valor de $e$ com exatidão máxima para esta máquina?
    7

3. (10 pontos) Considere as funções $f(x)=2 \sin(x)$ e $h(x)=x^2-1$.

  1. Indique um intervalo de tamanho $1$ que contém uma intersecção entre $f$ e $h$.
    $[-1,0]$
  2. Realize $3$ iterações do método da bissecção. Qual o valor aproximado da intersecção e o erro estimado na sua resposta.
    $x\approx -0.4375$ com $|erro|\approx 0.0625$

4. (15 pontos) Considere um método de iteração de ponto fixo $x_{n+1}=g(x_n)$.

  1. Encontre uma função $g(x)$ que corresponda a solução $2 \sin(x)-x^2=-1$.
    Ex.: $g(x)=\sqrt(2 \sin(x)+1$
  2. Calcule 3 iterações do método de ponto fixo para a $g$ acima.
    Com esta $g$, e $x_0=1$, temos $x_3 \approx 1.036166481$
  3. O método está convergindo? baseie sua resposta em $g'(x)$.
    Sim, pois $|g'(x_3)|<1$.

5. (15 pontos) Utilize o método de Newton para aproximar uma raiz de $F(x)=2 \sin(x)-x^2+1$ com 3 casas decimais corretas.

  1. $x\approx 0.423028...$


6. (20 pontos) Considere o polinômio $q(z)=z^3+z^2+z+c$.

  1. As raízes de $q(z)$ satisfazem $|z| \leq 1 + \frac{\max_{0\leq k<n} |a_k|}{|a_n|}$. Para quais $c$ podemos garantir que as raízes de $q$ satisfazem $|z|\leq 3$?
    $-2 \leq c \leq 2$
  2. Para que $q(z)$ seja divisível por $(z-2)$, qual deve ser o valor de $c$?
    $c=-14$
  3. Para quais valores de $c$ o polinômio $q(z)$ terá raízes positivas não-nulas?
    $d<0$
  4. Para quais valores de $c$ o polinômio $q(z)$ terá raízes complexas?
    Para qualquer $d$.
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