Mudanças entre as edições de "Dago:Numérico:Prova20122-A1"
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1. (20 pontos) Considere uma máquina em ponto flutuante com notação deslocada (BIAS) para o expoente, um bit extra para o sinal da mantissa e arredondamento por corte com $F=(\beta, |M|,|E|,BIAS)=(2,5,5,8)$. | 1. (20 pontos) Considere uma máquina em ponto flutuante com notação deslocada (BIAS) para o expoente, um bit extra para o sinal da mantissa e arredondamento por corte com $F=(\beta, |M|,|E|,BIAS)=(2,5,5,8)$. | ||
| − | # Qual o menor e maior expoente nessa | + | # Qual o menor e maior expoente nessa máquina, $E_{MIN}$ e $E_{MAX}$ respectivamente? |
| − | # Represente $x=(5.2)_{10}$ em | + | # Represente $x=(5.2)_{10}$ em binário nesta máquina. |
| − | # Sendo $\tilde{x}$ a | + | # Sendo $\tilde{x}$ a representação de $5.2$ nesta máquina, descubra o menor valor de $h$ tal que $\tilde{x}+h$ seja diferente de $\tilde{x}$. Represente $h$ nesta máquina. |
# Considere $V= \{2^{-9}, 0.25, 0.3, 3, \pi, 1024, 1025, 2048, 4096 \}$. Quais elementos de $V$ podem ser representados em $F$ sem erro? | # Considere $V= \{2^{-9}, 0.25, 0.3, 3, \pi, 1024, 1025, 2048, 4096 \}$. Quais elementos de $V$ podem ser representados em $F$ sem erro? | ||
| − | 2. (20 pontos) Considere a | + | 2. (20 pontos) Considere a função $f(x)=x^2-x^3$ e uma máquina $F=(\beta, |M|,E_{MIN},E_{MAX})=(10,4,-19,18)$. |
| − | # Calcule $f(1.000\times 10^{-5})$ e $f(1.001\times 10^{0})$ NESTA | + | # Calcule $f(1.000\times 10^{-5})$ e $f(1.001\times 10^{0})$ NESTA máquina. |
| − | # Para quais $x$ a | + | # Para quais $x$ a função $f(x)$ possui perda de dígitos significativos? Justifique a resposta. |
| − | # Para quais $x$ a | + | # Para quais $x$ a função $f(x)$ é mal condicionada? |
| − | # A | + | # A série de Taylor de $e^x= 1 +x+ \frac{x^2}{2!}+ \frac{x^3}{3!}+ \frac{x^4}{4!} ...$ Qual o menor número de termos que devem ser somados para obtermos o valor de $e$ com exatidão máxima para esta máquina? |
| + | 3. (10 pontos) Considere as funções $f(x)=2 \sin(x)$ e $h(x)=x^2-1$. | ||
| + | # Indique um intervalo de tamanho $1$ que contém uma intersecção entre $f$ e $h$. | ||
| + | # Realize $3$ iterações do método da bissecção. Qual o valor aproximado da intersecção e o erro estimado na sua resposta. | ||
| + | 4. (15 pontos) Considere um método de iteração de ponto fixo $x_{n+1}=g(x_n)$. | ||
| + | # Encontre uma função $g(x)$ que corresponda a solução $2 \sin(x)-x^2=-1$. | ||
| + | # Calcule 3 iterações do método de ponto fixo para a $g$ acima. | ||
| + | # O método está convergindo? baseie sua resposta em $g'(x)$. | ||
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| + | 5. (15 pontos) Utilize o método de Newton para aproximar uma raiz de $F(x)=2 \sin(x)-x^2+1$ com 3 casas decimais corretas. | ||
| − | + | 6. (20 pontos) Considere o polinômio $q(z)=z^3+z^2+z+c$. | |
| + | # As raízes de $q(z)$ satisfazem $|z| \leq 1 + \frac{\max_{0\leq k<n} |a_k|}{|a_n|}$. Para quais $c$ podemos garantir que as raízes de $q$ satisfazem $|z|\leq 3$? | ||
| + | # Para que $q(z)$ seja divisível por $(z-2)$, qual deve ser o valor de $c$? | ||
| + | # Para quais valores de $c$ o polinômio $q(z)$ terá raízes positivas não-nulas? | ||
| + | # Para quais valores de $c$ o polinômio $q(z)$ terá raízes complexas? | ||
| + | |||
| + | == Solução == | ||
| + | 1. (20 pontos) Considere uma máquina em ponto flutuante com notação deslocada (BIAS) para o expoente, um bit extra para o sinal da mantissa e arredondamento por corte com $F=(\beta, |M|,|E|,BIAS)=(2,5,5,8)$. | ||
| + | # Qual o menor e maior expoente nessa máquina, $E_{MIN}$ e $E_{MAX}$ respectivamente? | ||
| + | #: $E_{MIN}=(00001)_2= -7$ e $E_{MAX}=(11110)_2=22$ | ||
| + | # Represente $x=(5.2)_{10}$ em binário nesta máquina. | ||
| + | #: $1.01001 * 2^{2}= (0|01010|01001)$ | ||
| + | # Sendo $\tilde{x}$ a representação de $5.2$ nesta máquina, descubra o menor valor de $h$ tal que $\tilde{x}+h$ seja diferente de $\tilde{x}$. Represente $h$ nesta máquina. | ||
| + | #: $h=1.00000 \times 2^(-3)= (0|00101|00000)$ | ||
| + | # Considere $V= \{2^{-9}, 0.25, 0.3, 3, \pi, 1024, 1025, 2048, 4096 \}$. Quais elementos de $V$ podem ser representados em $F$ sem erro? | ||
| + | #: $\{0.25, 3, 1024, 2048, 4096 \}$ | ||
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| + | 2. (20 pontos) Considere a função $f(x)=x^2-x^3$ e uma máquina $F=(\beta, |M|,E_{MIN},E_{MAX})=(10,4,-19,18)$. | ||
| + | # Calcule $f(1.000\times 10^{-5})$ e $f(1.001\times 10^{0})$ NESTA máquina. | ||
| + | #: $f(1.000\times 10^{-5})=1.000 \times 10^{-10}$ e $f(1.001\times 10^{0})=1.000\times 10^{-3}$ | ||
| + | # Para quais $x$ a função $f(x)$ possui perda de dígitos significativos? Justifique a resposta. | ||
| + | #: Para $x$ próximo de 1, $|x-1|<tol$, ou seja $ 1-tol<x<1+tol$ | ||
| + | # Para quais $x$ a função $f(x)$ é mal condicionada? | ||
| + | #: $|\frac{2-3x}{1-x}|>C$, quando $x \approx 1$. | ||
| + | # A série de Taylor de $e^x= 1 +x+ \frac{x^2}{2!}+ \frac{x^3}{3!}+ \frac{x^4}{4!} ...$ Qual o menor número de termos que devem ser somados para obtermos o valor de $e$ com exatidão máxima para esta máquina? | ||
| + | #: 7 | ||
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| + | 3. (10 pontos) Considere as funções $f(x)=2 \sin(x)$ e $h(x)=x^2-1$. | ||
| + | # Indique um intervalo de tamanho $1$ que contém uma intersecção entre $f$ e $h$. | ||
| + | #: $[-1,0]$ | ||
| + | # Realize $3$ iterações do método da bissecção. Qual o valor aproximado da intersecção e o erro estimado na sua resposta. | ||
| + | #: $x\approx -0.4375$ com $|erro|\approx 0.0625$ | ||
| + | |||
| + | 4. (15 pontos) Considere um método de iteração de ponto fixo $x_{n+1}=g(x_n)$. | ||
| + | # Encontre uma função $g(x)$ que corresponda a solução $2 \sin(x)-x^2=-1$. | ||
| + | #: Ex.: $g(x)=\sqrt(2 \sin(x)+1$ | ||
| + | # Calcule 3 iterações do método de ponto fixo para a $g$ acima. | ||
| + | #: Com esta $g$, e $x_0=1$, temos $x_3 \approx 1.036166481$ | ||
| + | # O método está convergindo? baseie sua resposta em $g'(x)$. | ||
| + | #: Sim, pois $|g'(x_3)|<1$. | ||
| + | |||
| + | 5. (15 pontos) Utilize o método de Newton para aproximar uma raiz de $F(x)=2 \sin(x)-x^2+1$ com 3 casas decimais corretas. | ||
| + | #: $x\approx 0.423028...$ | ||
| − | 6. (20 pontos) Considere o | + | 6. (20 pontos) Considere o polinômio $q(z)=z^3+z^2+z+c$. |
| − | # As | + | # As raízes de $q(z)$ satisfazem $|z| \leq 1 + \frac{\max_{0\leq k<n} |a_k|}{|a_n|}$. Para quais $c$ podemos garantir que as raízes de $q$ satisfazem $|z|\leq 3$? |
| − | # Para que $q(z)$ seja | + | #: $-2 \leq c \leq 2$ |
| − | # Para quais valores de $c$ o | + | # Para que $q(z)$ seja divisível por $(z-2)$, qual deve ser o valor de $c$? |
| − | # Para quais valores de $c$ o | + | #: $c=-14$ |
| + | # Para quais valores de $c$ o polinômio $q(z)$ terá raízes positivas não-nulas? | ||
| + | #: $d<0$ | ||
| + | # Para quais valores de $c$ o polinômio $q(z)$ terá raízes complexas? | ||
| + | #: Para qualquer $d$. | ||
Edição atual tal como às 13h08min de 17 de dezembro de 2012
__MATHJAX_DOLLAR__
1. (20 pontos) Considere uma máquina em ponto flutuante com notação deslocada (BIAS) para o expoente, um bit extra para o sinal da mantissa e arredondamento por corte com $F=(\beta, |M|,|E|,BIAS)=(2,5,5,8)$.
- Qual o menor e maior expoente nessa máquina, $E_{MIN}$ e $E_{MAX}$ respectivamente?
- Represente $x=(5.2)_{10}$ em binário nesta máquina.
- Sendo $\tilde{x}$ a representação de $5.2$ nesta máquina, descubra o menor valor de $h$ tal que $\tilde{x}+h$ seja diferente de $\tilde{x}$. Represente $h$ nesta máquina.
- Considere $V= \{2^{-9}, 0.25, 0.3, 3, \pi, 1024, 1025, 2048, 4096 \}$. Quais elementos de $V$ podem ser representados em $F$ sem erro?
2. (20 pontos) Considere a função $f(x)=x^2-x^3$ e uma máquina $F=(\beta, |M|,E_{MIN},E_{MAX})=(10,4,-19,18)$.
- Calcule $f(1.000\times 10^{-5})$ e $f(1.001\times 10^{0})$ NESTA máquina.
- Para quais $x$ a função $f(x)$ possui perda de dígitos significativos? Justifique a resposta.
- Para quais $x$ a função $f(x)$ é mal condicionada?
- A série de Taylor de $e^x= 1 +x+ \frac{x^2}{2!}+ \frac{x^3}{3!}+ \frac{x^4}{4!} ...$ Qual o menor número de termos que devem ser somados para obtermos o valor de $e$ com exatidão máxima para esta máquina?
3. (10 pontos) Considere as funções $f(x)=2 \sin(x)$ e $h(x)=x^2-1$.
- Indique um intervalo de tamanho $1$ que contém uma intersecção entre $f$ e $h$.
- Realize $3$ iterações do método da bissecção. Qual o valor aproximado da intersecção e o erro estimado na sua resposta.
4. (15 pontos) Considere um método de iteração de ponto fixo $x_{n+1}=g(x_n)$.
- Encontre uma função $g(x)$ que corresponda a solução $2 \sin(x)-x^2=-1$.
- Calcule 3 iterações do método de ponto fixo para a $g$ acima.
- O método está convergindo? baseie sua resposta em $g'(x)$.
5. (15 pontos) Utilize o método de Newton para aproximar uma raiz de $F(x)=2 \sin(x)-x^2+1$ com 3 casas decimais corretas.
6. (20 pontos) Considere o polinômio $q(z)=z^3+z^2+z+c$.
- As raízes de $q(z)$ satisfazem $|z| \leq 1 + \frac{\max_{0\leq k<n} |a_k|}{|a_n|}$. Para quais $c$ podemos garantir que as raízes de $q$ satisfazem $|z|\leq 3$?
- Para que $q(z)$ seja divisível por $(z-2)$, qual deve ser o valor de $c$?
- Para quais valores de $c$ o polinômio $q(z)$ terá raízes positivas não-nulas?
- Para quais valores de $c$ o polinômio $q(z)$ terá raízes complexas?
Solução
1. (20 pontos) Considere uma máquina em ponto flutuante com notação deslocada (BIAS) para o expoente, um bit extra para o sinal da mantissa e arredondamento por corte com $F=(\beta, |M|,|E|,BIAS)=(2,5,5,8)$.
- Qual o menor e maior expoente nessa máquina, $E_{MIN}$ e $E_{MAX}$ respectivamente?
- $E_{MIN}=(00001)_2= -7$ e $E_{MAX}=(11110)_2=22$
- Represente $x=(5.2)_{10}$ em binário nesta máquina.
- $1.01001 * 2^{2}= (0|01010|01001)$
- Sendo $\tilde{x}$ a representação de $5.2$ nesta máquina, descubra o menor valor de $h$ tal que $\tilde{x}+h$ seja diferente de $\tilde{x}$. Represente $h$ nesta máquina.
- $h=1.00000 \times 2^(-3)= (0|00101|00000)$
- Considere $V= \{2^{-9}, 0.25, 0.3, 3, \pi, 1024, 1025, 2048, 4096 \}$. Quais elementos de $V$ podem ser representados em $F$ sem erro?
- $\{0.25, 3, 1024, 2048, 4096 \}$
2. (20 pontos) Considere a função $f(x)=x^2-x^3$ e uma máquina $F=(\beta, |M|,E_{MIN},E_{MAX})=(10,4,-19,18)$.
- Calcule $f(1.000\times 10^{-5})$ e $f(1.001\times 10^{0})$ NESTA máquina.
- $f(1.000\times 10^{-5})=1.000 \times 10^{-10}$ e $f(1.001\times 10^{0})=1.000\times 10^{-3}$
- Para quais $x$ a função $f(x)$ possui perda de dígitos significativos? Justifique a resposta.
- Para $x$ próximo de 1, $|x-1|<tol$, ou seja $ 1-tol<x<1+tol$
- Para quais $x$ a função $f(x)$ é mal condicionada?
- $|\frac{2-3x}{1-x}|>C$, quando $x \approx 1$.
- A série de Taylor de $e^x= 1 +x+ \frac{x^2}{2!}+ \frac{x^3}{3!}+ \frac{x^4}{4!} ...$ Qual o menor número de termos que devem ser somados para obtermos o valor de $e$ com exatidão máxima para esta máquina?
- 7
3. (10 pontos) Considere as funções $f(x)=2 \sin(x)$ e $h(x)=x^2-1$.
- Indique um intervalo de tamanho $1$ que contém uma intersecção entre $f$ e $h$.
- $[-1,0]$
- Realize $3$ iterações do método da bissecção. Qual o valor aproximado da intersecção e o erro estimado na sua resposta.
- $x\approx -0.4375$ com $|erro|\approx 0.0625$
4. (15 pontos) Considere um método de iteração de ponto fixo $x_{n+1}=g(x_n)$.
- Encontre uma função $g(x)$ que corresponda a solução $2 \sin(x)-x^2=-1$.
- Ex.: $g(x)=\sqrt(2 \sin(x)+1$
- Calcule 3 iterações do método de ponto fixo para a $g$ acima.
- Com esta $g$, e $x_0=1$, temos $x_3 \approx 1.036166481$
- O método está convergindo? baseie sua resposta em $g'(x)$.
- Sim, pois $|g'(x_3)|<1$.
5. (15 pontos) Utilize o método de Newton para aproximar uma raiz de $F(x)=2 \sin(x)-x^2+1$ com 3 casas decimais corretas.
- $x\approx 0.423028...$
6. (20 pontos) Considere o polinômio $q(z)=z^3+z^2+z+c$.
- As raízes de $q(z)$ satisfazem $|z| \leq 1 + \frac{\max_{0\leq k<n} |a_k|}{|a_n|}$. Para quais $c$ podemos garantir que as raízes de $q$ satisfazem $|z|\leq 3$?
- $-2 \leq c \leq 2$
- Para que $q(z)$ seja divisível por $(z-2)$, qual deve ser o valor de $c$?
- $c=-14$
- Para quais valores de $c$ o polinômio $q(z)$ terá raízes positivas não-nulas?
- $d<0$
- Para quais valores de $c$ o polinômio $q(z)$ terá raízes complexas?
- Para qualquer $d$.
