Mudanças entre as edições de "Análise espectral e estabilidade"

Edição das 09h22min de 30 de julho de 2009

A análise dos autovalores de uma matriz de iteração pode ser usada para estudar a estabilidade de um método iterativo.

Vamos relatar um estudo para um problema específico.

O problema

Queremos aproximar a solução da equação de Navier Stokes em um duto. Para isso devemos resolver a cada passo de tempo uma equação de Poisson como <math>\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 p}{\partial y^2}= f(u)\,\!</math>

Condição de Neumann em todos os lados

O espectro é real com espectro σ⊂(-1,1).

( 0.955E+00, 0.000E+00)
(-0.955E+00, 0.000E+00)
( 0.896E+00, 0.000E+00)
(-0.896E+00, 0.000E+00)
( 0.884E+00, 0.000E+00)
(-0.884E+00, 0.000E+00)
( 0.825E+00, 0.000E+00)
(-0.825E+00, 0.000E+00)
( 0.803E+00, 0.000E+00)
(-0.803E+00, 0.000E+00)
( 0.774E+00, 0.000E+00)
(-0.774E+00, 0.000E+00)
( 0.732E+00, 0.000E+00)
(-0.732E+00, 0.000E+00)
( 0.715E+00, 0.000E+00)
(-0.715E+00, 0.000E+00)
( 0.683E+00, 0.000E+00)
(-0.683E+00, 0.000E+00)
( 0.634E+00, 0.000E+00)
(-0.634E+00, 0.000E+00)
( 0.621E+00, 0.000E+00)
(-0.621E+00, 0.000E+00)
( 0.612E+00, 0.000E+00)
(-0.612E+00, 0.000E+00)
( 0.575E+00, 0.000E+00)
(-0.575E+00, 0.000E+00)
( 0.547E+00, 0.000E+00)
(-0.547E+00, 0.000E+00)
( 0.502E+00, 0.000E+00)
(-0.502E+00, 0.000E+00)
( 0.482E+00, 0.000E+00)
(-0.482E+00, 0.000E+00)
( 0.480E+00, 0.000E+00)
(-0.480E+00, 0.000E+00)
( 0.476E+00, 0.000E+00)
(-0.476E+00, 0.000E+00)
( 0.421E+00, 0.000E+00)
(-0.421E+00, 0.000E+00)
( 0.404E+00, 0.000E+00)
(-0.404E+00, 0.000E+00)
( 0.365E+00, 0.000E+00)
(-0.365E+00, 0.000E+00)
( 0.362E+00, 0.000E+00)
(-0.362E+00, 0.000E+00)
( 0.333E+00, 0.000E+00)
(-0.333E+00, 0.000E+00)
( 0.327E+00, 0.000E+00)
(-0.327E+00, 0.000E+00)
( 0.325E+00, 0.000E+00)
(-0.325E+00, 0.000E+00)
(-0.268E+00, 0.000E+00)
( 0.268E+00, 0.000E+00)
(-0.266E+00, 0.000E+00)
( 0.266E+00, 0.000E+00)
( 0.226E+00, 0.000E+00)
(-0.226E+00, 0.000E+00)
( 0.223E+00, 0.000E+00)
(-0.223E+00, 0.000E+00)
( 0.208E+00, 0.000E+00)
(-0.208E+00, 0.000E+00)
( 0.197E+00, 0.000E+00)
(-0.197E+00, 0.000E+00)
( 0.186E+00, 0.000E+00)
(-0.186E+00, 0.000E+00)
( 0.173E+00, 0.000E+00)
(-0.173E+00, 0.000E+00)
( 0.148E+00, 0.000E+00)
(-0.148E+00, 0.000E+00)
( 0.127E+00, 0.000E+00)
(-0.127E+00, 0.000E+00)
(-0.862E-01, 0.000E+00)
( 0.862E-01, 0.000E+00)
(-0.834E-01, 0.000E+00)
( 0.834E-01, 0.000E+00)
(-0.771E-01, 0.000E+00)
( 0.771E-01, 0.000E+00)
(-0.752E-01, 0.000E+00)
( 0.752E-01, 0.000E+00)
( 0.712E-01, 0.000E+00)
(-0.712E-01, 0.000E+00)
(-0.549E-01, 0.000E+00)
( 0.549E-01, 0.000E+00)
(-0.532E-01, 0.000E+00)
( 0.532E-01, 0.000E+00)
(-0.335E-01, 0.000E+00)
( 0.335E-01, 0.000E+00)
(-0.161E-01, 0.000E+00)
( 0.161E-01, 0.000E+00)
( 0.422E-02, 0.000E+00)
(-0.422E-02, 0.000E+00)
lambda(1)=  0.955274760723114       lambda(n)=  4.218247719109058E-003

Condição de Neumann em todos os lados fixando um ponto, P(1,2)=1

O espectro tem autovalores próximos do eixo real (talvez devido a erros de ponto flutuante) com σ⊂ 1.6537 ∪ (-1,1) incluindo 0.

Condição de Neumann em 3 lados fixando P=1 na entrada (ou na saída)

O espectro tem a maioria dos autovalores próximos do eixo real com alguns autovalores complexos (um pequeno circulo de valores complexos dentro do círculo unitário) com σ ⊂ 11.23 ∪ (-1,1) incluindo 0.

Teste 4

• O espectro do problema não depende de dt, Re ou U0. Depende apenas do coeficientes de P (que dependem de dx,dy
• Aplicando as condições de contorno e também subtraindo uma constante de toda a solução, por exemplo, P=P-P(1,2)

Teste 5