Polinômio de Lagrange

Em análise numérica, polinômio de Lagrange é usado para interpolação polinomial.

Definição

Dado um conjunto de k+1 pontos:

<math>(x_0, y_0),\ldots,(x_k, y_k)</math>

com todos x_j distintos, o polinômio de interpolação de um conjunto de pontos na forma de Lagrange é a combinação linear dos polinômios da base de Lagrange:

<math>p(x) := \sum_{j=0}^{k} y_j L_j(x)</math>

com polinômios da base de Lagrange dados por:

<math>L_j(x) := \prod_{i=0, j\neq i}^{k} \frac{x-x_i}{x_j-x_i} = \frac{x-x_0}{x_j-x_0} \cdots \frac{x-x_{j-1}}{x_j-x_{j-1}} \frac{x-x_{j+1}}{x_j-x_{j+1}} \cdots \frac{x-x_{k}}{x_j-x_{k}}</math>

Polinômio de Lagrange em 2D

Dado um conjunto de (m+1)*(n+1) pontos:

<math>(x_{ij}, y_{ij},z_{ij}), 0 \leq i \leq m, 0 \leq j \leq n</math>

de tal forma que as coordenadas (x,y) estejam alinhadas numa malha cartesiana, ou seja, os pontos podem ser definidos como

<math>(x_{i}, y_{j},z_{ij}), 0 \leq i \leq m, 0 \leq j \leq n</math>

o polinômio de Lagrange em duas dimensões pode ser definido a partir do polinômio unidimensional como:

<math>L_{ij}(x,y) := L_i(x,y) L_j(x,y)</math>