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Problema da Cavidade

Para visualizarmos este problema podemos imaginar uma piscina cheia de água e um vento soprando sobre sua borda, o estudo fica em analisar o movimento da água dentro da piscina. A maioria das simulações numéricas envolvendo problemas da cavidade utilizam as equações de Navier Stokes. As equações de Navier Stokes são equações diferenciais que descrevem o movimento de fluidos. Como por exemplo:

<math>

(1) u_t +(u \cdot \nabla ) u =- \nabla p + (1/Re) \nabla^2 u </math>

<math>

(2) \nabla\cdot u=0 </math> onde <math>u=(u,v)</math> é a velocidade do fluido, <math>p</math> é a pressão e <math>Re</math> é número de Reynolds

condições de contorno

• lado oeste u=U, v=0
• lado sul u=v=0
• lado oeste u=v=0
• lado leste u=v=0

onde a velocidade do U é calculada a partir da equação <math> Re=UL/{\mu} </math> , onde <math>Re</math> é o número de Reynolds, <math>L</math> longitude característica do fluxo, e <math> \mu </math>=<math>1,5x10^{-5}</math> é a viscosidade do fluido.

Perfil de Velocidade na Região de Escoamento Completamente Desenvolvido

A forma do perfil de velocidade pode ser facilmente determinada para o escoamento laminar e incompressível de um fluido com propriedades constantes em um tubo circular na região completamente desenvolvida. Uma características importantes das condições fluidodinâmicas na região de escoamento completamente desenvolvido é que o componente radial da velocidade <math>v</math> e o gradiente do componente axial da velocidade,<math>\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right) \,\! </math>,são iguais a zero qualquer que seja a posição. <math>v=0</math> e <math>\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)=0 \,\! </math>

Assim, o componente axial da velocidade depende somente de r, ou seja, <math>u(x,r)=u(r) \,\!</math>. A dependência radial da velocidade axial pode ser obtida através da resolução da forma apropriada da equação do momento na direção x. Essa forma é determinada, em primeiro lugar, pelo reconhecimento de que para as condições da equação <math>v=0</math> e <math>\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)=0 \,\! </math>, o fluxo líquido de momento é nulo em qualquer ponto no inteiro da região de escoamento completamente desenvolvido. dessa forma, a exigência de conservação do momento se reduz a um simples balanço entre as forças de cisalhamento e as forças de pressão no escoamento. O balanço de forças pode ser representado como

<math>(1) - \frac{d}{dr}(r \tau_{r})= r \frac{dp}{dx} \,\!

</math> e como <math>y=r_{0} - r \,\!</math>, a lei da viscosidade de Newton :<math>\left( \tau = \mu \frac{\partial u}{\partial y}\right) \,\! </math>,(onde a constante <math> \mu \,\!</math> é o coeficiente de viscosidade), assume a forma <math>\tau_{r}=-\mu \frac{du}{dr} \,\!</math> e substituindo na equação (1) se torna

<math> (2) \frac{\mu}{r} \frac{d}{dr} \left(r \frac{du}{dr}\right)=\frac{dp}{dx}\,\!

</math> Uma vez que o gradiente de pressão na direção axial é independente de r, a Eq. (2) pode ser resolvida com duas integrações, onde na primeira integral obtem-se da seguinte forma

<math> \frac{\mu}{r} \frac{d}{dr} \left(r \frac{du}{dr}\right)=\frac{dp}{dx}\,\!

</math>

<math> \int \frac{d}{dr} \left(r \frac{du}{dr}\right)= \int \frac{r}{\mu}\frac{dp}{dx}dr \,\!

</math>

<math> r \frac{du}{dr}= \frac{1}{\mu} \left(\frac{dp}{dx}\right)\frac{r^2}{2} + C_1\,\!

</math> calculando a segunda integral

<math> \int \frac{du}{dr}= \int \left( \frac{1}{\mu} \left(\frac{dp}{dx}\right)\frac{r}{2} + \frac{C_1}{r}\right) dr \,\!

</math>

<math> u(r)= \frac{1}{\mu} \left(\frac{dp}{dx}\right)\frac{r^2}{4} + C_1 \log r + C_2\,\!

</math> As constantes de integração podem ser determinadas utilizando-se as condições de contorno <math>u(r_0)=0\,\!</math> e <math>\left.\frac{\partial {u}}{\partial {r}}\right|_{r=0} \,\! </math> que impõem, respectivamente, as exigências de ausência de deslizamento na superfície do tudo e de existência de simetria radial no eixo central do tubo. É fácil a tarefa de determinar as constantes de integração onde

<math>C_{1}=0 \,\!</math>

<math>C_{2}=-\frac{1}{4\mu} \left( \frac{dp}{dx} \right) \frac{{r_0}^2}{4} \,\!</math>

chegando-se a:

<math>u(r)=-\frac{1}{4 \mu}\left( \frac{dp}{dx}\right) r_{0}^2 \left[1- \left(\frac{r}{r_0}\right)^2 \right]

\,\!</math>

Assim, o perfil de velocidade na região de escoamento completamente desenvolvido é parabólico.