Análise espectral e estabilidade

A análise dos autovalores de uma matriz de iteração pode ser usada para estudar a estabilidade de um método iterativo.

Vamos relatar um estudo para um problema específico.

O problema

Queremos aproximar a solução da equação de Navier Stokes em um duto. Para isso devemos resolver a cada passo de tempo uma equação de Poisson como <math>\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 p}{\partial y^2}= f(u)\,\!</math>

Condição de Neumann em todos os lados

O espectro é real com espectro σ⊂(-1,1).

lambda(1)=  0.000000000000000E+000  lambda(n)=  0.955274641513824
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Condição de Neumann em todos os lados fixando um ponto, P(1,2)=1

O espectro tem autovalores próximos do eixo real (talvez devido a erros de ponto flutuante) com σ⊂ 1.6537 ∪ (-1,1) incluindo 0.

Condição de Neumann em 3 lados fixando P=1 na entrada (ou na saída)

O espectro tem a maioria dos autovalores próximos do eixo real com alguns autovalores complexos (um pequeno circulo de valores complexos dentro do círculo unitário) com σ ⊂ 11.23 ∪ (-1,1) incluindo 0.

Teste 4

• O espectro do problema com condições de Neumann em todos os lados não depende de dt, Re ou U0.
• Aplicando as condições de contorno e também subtraindo uma constante de toda a solução, por exemplo, P=P-P(1,2)