Dago:Interpolação na Quadtree

Problema: encontrar a fórmula de interpolação linear entre 3 pontos no plano.

• Entrada: p[c],p[N],p[EE]
• Saída: p[E] (ou p[n],p[NE],p[ne])

x---------x---------o---------x
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|    N    |    NE             |
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x----n----ne        EE        o
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|    c    e    E              |
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x---------x---------o---------x

A fórmula de interpolação linear é dada por

x   :=(xi,eta) -> x[c]*(1-xi-eta) + x[N]*(eta) +x[EE]*(xi);
y   :=(xi,eta) -> y[c]*(1-xi-eta) + y[N]*(eta) +y[EE]*(xi);
phi :=(xi,eta) -> p[c]*(1-xi-eta) + p[N]*(eta) +p[EE]*(xi);

Usando os pontos

x[N] := x[c];
y[N] := y[c]+dy;
x[EE]:= x[c]+(3/2)*dx;
y[EE]:= y[c]+ dy/2; 

podemos verificar que:

phi(0,0) = p[c];
phi(0,1) = p[N];
phi(1,0) = p[EE];

Assim a solução é

x[n] =  x(0,1/2)    => 1/2 x[c] + 1/2 x[N];
y[n] =  y(0,1/2)    => 1/2 y[c] + 1/2 y[N];
p[n] =phi(0,1/2)    => 1/2 p[c] + 1/2 p[N]; 

x[ne]=  x(1/3,1/3)  => 1/3 x[c] + 1/3 x[N] + 1/3 x[EE];
y[ne]=  y(1/3,1/3)  => 1/3 y[c] + 1/3 y[N] + 1/3 y[EE];
p[ne]=phi(1/3,1/3)  => 1/3 p[c] + 1/3 p[N] + 1/3 p[EE];

x[E] =  x(2/3,-1/3) => 2/3 x[c] - 1/3 x[N] + 2/3 x[EE];
y[E] =  y(2/3,-1/3) => 2/3 y[c] - 1/3 y[N] + 2/3 y[EE];
p[E] =phi(2/3,-1/3) => 2/3 p[c] - 1/3 p[N] + 2/3 p[EE];