Dago:Numérico:Lista 2
Lista de Exercícios 2a
- MAT 01169 - Cálculo Numérico
- Prof. Dagoberto Adriano Rizzotto Justo
Instruções gerais para a lista: Considere o número de iterações máximas igual a $kmax=10$ e tolerância $tol=10^{-3}$ e as seguintes matrizes para os próximos exercícios:
A = \matddd{1}{2}{3}{4}{1}{2}{0}{1}{3} , I = \matddd{1}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} , C = \matddd{4}{3}{1}{-2}{1}{2}{1}{-1}{-1} , d = \vetddd{2}{1}{-1} , b = \vetddd{6}{7}{4} \]
- Resolva o sistema $A x =b$ usando fatoração LU com e sem pivotamento parcial.
- Resolva o sistema $ Ax=b$ utilizando os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel com uma tolerância de $10^{-2}$ e um máximo de 10 iterações. Calcule em cada iteração $k$ o resíduo $r¸=b-Ax¸$ e a norma-$œ$ do resíduo. O que se pode concluir?
- Calcule:
- <math>\|b\|_1,\|b\|_2,\|b\|_3,\|b\|_{\infty}</math>
- <math>\|A\|_1,\|A\|_{\infty},\kappa_1(A)=\|A\|\|A^{-1}\|_1,\kappa_infty(A)=\|A\|_\infty\|A^{-1}\|</math>
- Seja <math>u,v,b,x\in\R^n,A\in\R^{n\times n}</math>. Considerando que o custo de uma operação de multiplicação ou divisão é um $flop$ (floating operation) e que adições e subtrações tem um custo desprezível se comparados a esse custo, calcule o \textbf{custo} das seguintes operações:
\begin{enumerate} \item Calcular o produto escalar $u · v = €_{i=1}— u‚v‚$; \item Multiplicação matriz-vetor $u = A b$; \item Calcular a norma-$2$ de um vetor $†x†= „…{€_{i=1}— x‚²}$, onde o custo de calcular uma raiz é de $2$ flops. \item Custo para resolver um sistema triangular inferior por substituição; \item Custo para resolver um sistema triangular superior por retro-substituição; \item Custo da fatoração $LU$; \item Custo para resolver um sistema usando fatoração $LU$; \item Custo para resolver $n$ sistemas diferentes usando fatoração $LU$; \item Custo para calcular $Aˆ$, via resolução de $n$ sistemas; \item Custo para calcular a norma de Frobenius $†A†_F = „…{€_{i=1}— €_{j=1}— a²–}$. \end{enumerate}
\item Dê as seguintes definições: \begin{enumerate}
\item Norma vetorial; \item Número de condição de uma matriz $æ(A)$; \item Matriz mal-condicionada e bem-condicionada; \item Determinante normalizado da matriz $norm |A|$; \item Uma matriz diagonal dominante; dê exemplos.
\end{enumerate}
\item Qual a condição para que o método iterativo $x¸ = (I - Q ˆA)x_{k-1} + Qˆb$ seja convergente?
\item Defina o método de refinamento iterativo. Qual a condição para o método de refinamento iterativo convergir?
\item Descreva o método de Jacobi. Como ele pode ser representado matricialmente? Qual a condição para que o método de Jacobi seja convergente?
\item Descreva o método de Gauss-Seidel. Como ele pode ser representado matricialmente? Qual a condição para que o método de Gauss-Seidel
seja convergente?
\item Para a matriz $A$ no começo dessa lista, descreva e represente graficamente os discos de Gershgorin. Calcule os autovalores e represente-os no mesmo gráfico. O que se pode concluir?
\item Repita o exercício anterior para a matriz $C$.
\item Escolha uma matriz rândomica com $5 ×5$ elementos. Represente graficamente os discos de Gershgorin. Se puder, usando MATLAB ou sua calculadora, calcule os autovalores e represente-os graficamente.
\item Explique por que nâo devemos usar o cálculo de autovalores via determinantes, do ponto de vista numérico. Um gráfico poderia ajudar na explicação.
\item Defina quociente de Rayleigh.
\item Descreva o método da potência, como ele funciona e para que serve. Quando este método nâo funciona?
\item Calcule via método da potência o maior autovalor de $A$.
\item Calcule via método da potência o maior autovalor de $C$.
\item Considere a matriz $A$. Usando os discos de Gershgorin, selecione um possível valor para $\sigma$ e use como translação para o Método da Potência. Repita o exercício para três valores diferentes de $\sigma$. (Calcule a cada iteração $k$ o valor de $\lambda¸ = x¸™Ax¸$.
\item Considere a matriz $A$ e o resultado do exercício anterior.
Utilize o método da iteração inversa com translação usando como
$\sigma$ o valor aproximado do autovalor anterior. O que se pode
concluir.
\item Utilize o método de iteração inversa com o quociente de Rayleigh e calcule um autovalor de $A$. O que se pode concluir.
\item Considere a matriz $C$ e repita o três exercícios anteriores.
\item Defina uma matriz de Vandermonde. Qual o problema desta matriz. Dê um exemplo.
\item Para a seguinte tabela de valores, utilize interpolação polinomial e calcule o polinômio interpolador de ordem $2$.
\begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline
% after \\: \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ... x & 2 & 4 & 5 \\ y(x) & 0 & 3 & 1 \\ \hline
\end{tabular}
Desenhe o gráfico do polinômio interpolador e os pontos da tabela.
\item Repita o exercício anterior usando a forma de Newton e diferenças divididas. Estime o erro na interpolação para o ponto $x=3$.
\item Repita o exercício anterior usando a forma de Lagrange.
\item Usando uma calculadora ou MATLAB, calcule o polinômio interpolador de ordem $4$.
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|} \hline
% after \\: \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ... x & 2 & 4 & 5 & 5.5 & 8\\ y(x) & 0 & 3 & 1 & -1 & 2\\ \hline
\end{tabular}
Desenhe o gráfico do polinômio interpolador e os pontos da tabela. O que se pode concluir.
\item Repita o exercício anterior usando a forma de Newton e diferenças divididas. Estime o erro na interpolação para o ponto $x=3$.
\item Repita o exercício anterior usando a forma de Lagrange.
\item Usando a forma de Newton e diferenças simples, calcule o polinômio interpolador da seguinte tabela
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|} \hline
% after \\: \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ... x & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ y(x) & 0 & 3 & 1 & -1& 2\\ \hline
\end{tabular}
Desenhe o gráfico do polinômio interpolador e os pontos da tabela. O que se pode concluir. Estime o erro na interpolação para o ponto $x=3.5$.
\item Para a seguinte tabela de valores, utilize uma interpolação por splines cúbicas:
\begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline
% after \\: \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ... x & 2 & 4 & 5 \\ y(x) & 0 & 3 & 1 \\ \hline
\end{tabular}
Desenhe o gráfico do polinômio interpolador e os pontos da tabela. Utilize as fórmulas para Splines do livro.