Mudanças entre as edições de "Mudança de Variáveis"

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;Equações de Navier-Stokes:
 
;Equações de Navier-Stokes:
<math> \begin{array}{l}
+
<math> \begin{align}
   \vec{u}_t + (\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} = -\nabla p +\displaystyle\frac{1}{Re}\nabla^2 \vec{u} \\
+
   \vec{u}_t + (\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} &= -\nabla p +\displaystyle\frac{1}{Re}\nabla^2 \vec{u} \\
\nabla \cdot u = 0\\
+
  \nabla \cdot u                             &= 0
\end{array}
+
\end{align}
 
</math>
 
</math>
  
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Assim, as equações de Navier-Stokes nas variáveis vorticidade e função corrente tornam-se
 
Assim, as equações de Navier-Stokes nas variáveis vorticidade e função corrente tornam-se
 
<math>
 
\begin{array}{l}
 
  \zeta_t + J(\zeta,\psi) = \displaystyle\frac{1}{Re}\nabla^2\zeta \\
 
-\nabla^2\psi = \zeta
 
\end{array}
 
</math>
 
  
 
<math>
 
<math>
 
\begin{align}
 
\begin{align}
 
   \zeta_t + J(\zeta,\psi) &= \displaystyle\frac{1}{Re}\nabla^2\zeta \\
 
   \zeta_t + J(\zeta,\psi) &= \displaystyle\frac{1}{Re}\nabla^2\zeta \\
-\nabla^2\psi &= \zeta
+
            -\nabla^2\psi &= \zeta
 
\end{align}
 
\end{align}
 
</math>
 
</math>

Edição das 11h19min de 25 de junho de 2009

Equações de Navier-Stokes

<math> \begin{align}

  \vec{u}_t + (\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} &= -\nabla p +\displaystyle\frac{1}{Re}\nabla^2 \vec{u} \\
  \nabla \cdot u                             &= 0

\end{align} </math>


Vorticidade
<math>\zeta = \nabla \times \vec{u} \cdot \vec{k}</math>
Função corrente <math> \psi </math>
<math>\vec{u} = (\nabla\psi)\times k</math>

Assim <math>\nabla\cdot\vec{u} = \nabla \cdot(\nabla\psi\times k) = \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial \psi}{\partial y} \right) + \frac{\partial}{\partial y}\left( -\frac{\partial \psi}{\partial x} \right) =0 </math>


Identidade 1) <math> (\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} = (\nabla \times \vec{u})\times \vec{u} + \nabla\left( \frac{1}{2}||\vec{u}||^2 \right) = \zeta k \times \vec{u} + \nabla\left( \frac{1}{2}||\vec{u}||^2 \right) </math>

Identidade 2) <math> \nabla \times (\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{a} \nabla \cdot \vec{b} - \vec{b} \nabla \cdot \vec{a} + (\vec{b} \cdot \nabla)\vec{a} - (\vec{a} \cdot \nabla)\vec{b} </math>


Aplicando <math> \nabla \times </math> na equação

<math> (\nabla \times \vec{u})_t + \nabla \times \{ (\vec{u} \cdot \nabla)\vec{u} \} = \frac{1}{Re}\nabla^2(\nabla \times \vec{u}) </math>

Usando a identidade (1)

<math> (\nabla \times \vec{u})_t + \nabla \times (\zeta \vec{k} \times \vec{u}) = \frac{1}{Re}\nabla^2(\nabla \times \vec{u}) </math>

<math> (\zeta\vec{k})_t + \nabla\times(\zeta\vec{k}\times\vec{u}) = \frac{1}{Re}\nabla^2(\zeta\vec{k}) </math>


Da identidade (2) com <math> \vec{a}=\nabla\times\vec{u} </math> e <math> \vec{b}=\vec{u} </math> e usando que <math> \nabla\cdot\vec{u}=0 </math>, temos

<math> \nabla\times(\zeta\vec{k}\times\vec{u}) = \nabla \times \{(\nabla\times\vec{u})\times\vec{u}\} = (\vec{u}\cdot\nabla)\nabla\times\vec{u} - (\nabla\times\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} </math>


<math> \vec{u} = \vec{u}(x,y,t) \Longrightarrow (\nabla\times\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u}=0 </math>

pois <math> \vec{u} </math> não depende de <math> z </math> .

Segue-se que

<math> \nabla\times(\zeta\vec{k}\times\vec{u}) = (\vec{u}\cdot\nabla)\nabla\times\vec{u} = (\vec{u}\cdot\nabla)\zeta\vec{u} </math>

Portanto

<math> (\zeta\vec{k})_t + (\vec{u}\cdot\nabla)\zeta\vec{k} = \frac{1}{Re}\nabla^2(\zeta\vec{k}) </math>

<math> \vec{u} = \nabla\psi\times\vec{k} \Longrightarrow (\vec{u}\cdot\nabla)\zeta\vec{k} = \frac{\partial(\zeta,\psi)}{\partial(x,y)}\vec{k} = J(\zeta,\psi)\vec{k} </math>

Então <math>(\zeta\vec{k})_t + J(\zeta,\psi)\vec{k} = \frac{1}{Re}\nabla^2(\zeta\vec{k}) </math>


Além disso, como <math> \vec{u} = \nabla\psi\times\vec{k} </math> e <math> \zeta = \nabla\times\vec{u}\cdot\vec{k} </math> temos

<math> \nabla\times(\nabla\psi\times\vec{k})=\nabla\times(\psi_y,-\psi_x) = -\psi_{xx}-\psi_{yy} = -\nabla^2\psi </math>

Ou seja

<math>-\nabla^2\psi = \zeta </math>



Assim, as equações de Navier-Stokes nas variáveis vorticidade e função corrente tornam-se

<math> \begin{align}

 \zeta_t + J(\zeta,\psi) &= \displaystyle\frac{1}{Re}\nabla^2\zeta \\
           -\nabla^2\psi &= \zeta

\end{align} </math>