Usuário:Fabio

Problemas de análise úteis a quem estiver estudando para as provas de seleção. Quando eu conseguir carregar arquivos .pdf ou .tex, eu coloco as soluções.

Problema 1

Mostre o seguinte limite:

<math>\lim_{r\to\infty}\lim_{n\to\infty}\int_0^{1}n\left(1-x\right)^n\left(1-x^2\right)^{n^2}\ldots \left(1-x^r\right)^{n^r}dx=\int_0^1\exp\left(\frac{-y}{1-y}\right)dx</math>

Problema 2

Mostre que a sequência de funções <math>u_n(t):\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math> definida recursivamente por

<math>\left\{ \begin{array}{l} u_0(t)=0 \\ u_{n+1}(t)=\displaystyle\int_{0}^t \left[1+u_n(s)^2\right]ds\end{array}\right.

</math> converge uniformemente em cada intervalo <math>[-a,a]</math> com <math>a \in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)</math> mas não converge uniformemente em <math>\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)</math>.