Mmcc3
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MMCC3 - Modelagem matemática e computacão científica III
Prof.Dagoberto Adriano Rizzotto Justo
Índice
Notas de aula
- Notas de Aula: para impressão. (Sujeito a mudancas durante o semestre.)
- Slides de Aula: para visualização na tela.
Lista de Exercícios
- Arquivo Latex exemplo de tema de casa.
- Lista 1: 9.5
- Lista 2: 9.8, 9.9, 10.1, 10.2 (escolha 4)
- Lista 3: 10.10, 10.11, 10.12 (10/maio)
- Lista 4: 11.4, 11.5, 11.10 (29/maio)
- Lista 5: 12.3, 13.6, 13.9 (19/jun)
Trabalhos finais
Exemplos
- Arquivo Maple para calcular fator de amplificacao FTCS, laxf.
- Arquivo Maple para calcular raiz de polinomio e converter para latex.
- Exemplo de arquivo Maple para resolver sistemas.
Scilab
Rodando um programa em Scilab
- Digite editor no console para abrir o editor.
- Digite o programa (como os exemplos abaixo)
- Salve o programa com a extensão .sce ou .sci
- Selecione o menu Execute e Load into Scilab (Control+L)
- No console, digite o nome da função desejada, por exemplo,
iteracao(10)
Exemplos
- Exercício 2.1
function [x]=iteracao(x0) x(1)=x0; for k=1:100 x(k+1)=x(k)*(3-x(k)^2)/2; end plot(x,'.-') endfunction
- Exercício 2.2
function [c]=mandelbrot(Total) c=(rand()-0.5+%i*(rand()-0.5))*3 z(1)=0; k=1; while(k<Total) //&(abs(z(k))<2) z(k+1)=z(k)^2+c; k=k+1; end if( abs(z(k))<2 ) then plot(real(c),imag(c),'*m'); end endfunction
- Adveccao com cond. contorno periódicas
function [v,normv]=adveccao(N,Tfinal)
L = 1; // extremo direito
a = 1; // velocidade
h = (L)/N; //passo
k = 1.6*h; // passo de tempo
x = linspace(0,L+h,N+2); // dominio
v = exp(-8*(x-0.5).^2);
v = 0.0*x;
v(N/4:N/2)=1;
v = sin(2*%pi*x/L);
plot(x,v,'b.-')
ItTotal = round(Tfinal/k);
for n=1:ItTotal
for i=2:N+1;
vnew(i)=(v(i-1)+v(i+1))/2-a*k*(v(i+1)-v(i-1))/(2*h);
end
vnew(1) = vnew(N+1); // cond.contorno
vnew(N+2) = vnew(2); // cond.contorno
v = vnew;
normv(n)=norm(v(1:N),2)*sqrt(h);
end
plot(x,vnew,'r*-')
razao = normv(ItTotal)/normv(ItTotal-1);
disp(razao)
endfunction
- Leapfrog
function [v,normv]=leapfrog(N,Tfinal)
L = 1; // extremo direito
a = 1; // velocidade
h = (2*L)/N; //passo
k = 0.9*h; // passo de tempo
x = linspace(-L,L,N+1); // dominio
//v = exp(-8*(x-0.5).^2);
v=(abs(x)<=1/2).*cos(%pi*x).^2;
//v = 0.0*x;
//v(N/4:N/2)=1;
//v = sin(2*%pi*x/L);
for i=2:N;
vn(i)=v(i) -a*k*(v(i+1)-v(i-1))/(2*h);
end
vn(1)=0; vn(N+1)=0;
plot(x,v,'b.-')
ItTotal = round(Tfinal/k);
for n=1:ItTotal
for i=2:N;
vnew(i)=v(i) -a*(2*k)*(vn(i+1)-vn(i-1))/(2*h);
end
vnew(1) = 0; // cond.contorno
vnew(N+1) = 0; // cond.contorno
//vnew(N+1) = vnew(N); // A cond.contorno
//vnew(N+1) = 2*vnew(N)-vnew(N-1); // B cond.contorno
//vnew(N+1) = 2*vn(N)-v(N-1); // C cond.contorno
//vnew(N+1) = vn(N); // D cond.contorno
t=(n+1)*k;
exata=((abs(x-a*t))<=1/2).*cos(%pi*(x-a*t)).^2;
v = vn;
vn= vnew;
normv(n)=norm(v(1:N),2)*sqrt(h);
end
plot(x,vnew,'r*-')
plot(x,exata,'b.')
///plot(x,exata-vnew','b*-')
razao = normv(ItTotal)/normv(ItTotal-1);
disp(razao)
endfunction
CrankNicolson
clear
function v=u0(x)
// if( 1/4 <=x & x <= 3/4 ) then
// v=1-abs(4*(x-1/2))
// else
// v=0
// end
v=sin(x*(2*%pi))
endfunction
L=1 // comprimento do dominio
N=160 // intervalos
h=L/(N)
Tfinal=2.5
lambda=0.8
k=lambda*h
a=1
x=linspace(0,L+h,N+2)
u=zeros(N+2)
// condicao inicial
for i=1:N+2
u(i)=u0( x(i) )
end
plot(x,u,'*-b');xgrid
//A(N+1,N:N+1)=[-1 1]; // cond. numerica //A(N+1,N-1:N+1)=[1 -2 1]; // cond. numerica
A(1,1) =[1]; // cc periodica
A(1,N+1) = -1
A(N+2,N+2)=[1]; // cc periodica
A(N+2,2) =-1
for i=2:N+1
A(i,i-1:i+1)=[-a*lambda/4 1 a*lambda/4]
end
for n=1:(Tfinal/k)
rhs(1)= 0 //u(N)
rhs(N+2)=0 //u(2)
for i=2:N+1
rhs(i)= -a*lambda/4*u(i+1)+u(i)+a*lambda/4*u(i-1)
end
unew=inv(A)*rhs
u=unew
normav(n)=norm(unew(1:N)*sqrt(h))
for i=1:N+2
exata(i)=u0( x(i)-a*k*n )
end
erro=abs(exata-unew)
normaerro(n)=norm(erro(1:N)*sqrt(h) )
end
plot(x,u,'.r-')
plot(x,exata,'g.-')
//erro=v-exata
Referências
- Página de Numérico, Apostila, listas de exercícios e material extra.
- Introdução ao Scilab, prof. Leonardo Guidi.
- Intro to Scilab.
- Análise Numérica:Livros
Softwares
Links para instalar Latex:
Veja como instalar o Latex:
