Navier-Stokes

Equação do movimento

Sejam

<math>\vec{x},t</math>: a posição e o tempo;

<math>\vec{u},p,\rho</math>: velocidade, pressão e densidade;

<math>\vec t</math>: forças de contato de superfície.

<math>\Omega(t), \partial\Omega(t)</math>: região do espaço dependente de t e seu contorno.

A taxa de variação do momentum de uma região é igual a soma das forças aplicadas a esta região.

<math>

  \frac{d}{dt} \int_{\Omega(t)} \rho \vec{v} dV = \int_{\partial\Omega(t)} \vec{t} dS + \int_{\Omega(t)} \rho \vec{f} dV

</math>

onde <math>\vec f</math> são as forças de corpo.

O princípio de Cauchy implica que a forças de contato (representadas pelo tensor stress t) são

<math>

  \vec{t}(\vec{x},\vec{n}) =  \sigma(\vec{x}) \vec{n}

</math>

onde <math>\vec{n}</math> é normal a <math>\partial\Omega(t)</math> em <math>\vec{x}</math>.

Utilizando o teorema do transporte, conservação da massa, princípio de Cauchy e teorema da divergência, a equação acima torna-se a equação do movimento

<math>

  \rho \frac{D\vec{u}}{Dt} = \nabla \cdot \sigma + \rho \vec{f}

</math>

Equações de Navier-Stokes

Utilizando a relação constitutiva

<math>

  \sigma = -p I + 2 \mu d

</math>

obtém-se

<math>

  \rho \frac{D\vec{u}}{Dt} = -\nabla p + \nabla\cdot \{\mu[\nabla \vec{u}+(\nabla \vec{u})^T]\} + \rho \vec{f}

</math>

Com viscosidade constante

<math>

  \rho \frac{D\vec{u}}{Dt} = -\nabla p + \mu \Delta \vec{u} + \rho \vec{f}

</math>

Convecção Térmica

Usando aproximação de Boussinesq e a equação de estado

<math>

  \rho = \rho_0 [1-\alpha(T-T_0)]

</math>

onde <math>\alpha</math> é o coeficiente de expansão volumétrica e <math>\rho_0=\rho(T_0)</math> e <math>T_0</math> uma temperatura de referência.

obtemos a equação de Boussinesq,

<math> \begin{align}

  \rho_0 \frac{D\vec{u}}{Dt} &= -\nabla p + \mu \Delta \vec{u} + \rho_0 [1-\alpha(T-T_0)] \\
 \rho_0 c\frac{DT}{Dt}       &= \nabla\cdot(k \nabla T) + \rho_0 r + \Phi \\
  \nabla \cdot u    &= 0

\end{align} </math>

onde <math>\rho_0 r</math> é o termo fonte volumétrico (que as vezes é descartado).

Adimensionalizando

Definindo

<math> \vec{x}':=\vec{x}/L\;\!</math>

<math> \vec{u}':=\vec{u}/U\;\!</math>

<math> t'  :=tU/L\;\!</math>

<math> p'  :=(p-\rho_0 \vec{g} \cdot\vec{x})/(\rho_0U^2)\;\!</math>

<math> T':=(T-T_0)/(T_1-T_0)\;\!</math>

Números adimensionais

Número de Reynolds

<math> Re=\frac{\rho U L}{\mu} = \frac{U L}{\nu}\;\!</math>

Número de Richardson

<math> Ri := \alpha g \delta T L / U^2\;\!</math>

Número de Péclet

<math> Pe:=UL / \kappa \;\!</math>

Número de Brinkman

<math> Br := \mu U^2 / (k \delta T) \;\!</math>

Obtemos a equação adimensional

<math> \begin{align}

  \vec{u}_t + (\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} :=\frac{D\vec{u}}{Dt} &= -\nabla p + Re^{-1} \Delta \vec{u} -Ri \vec{g}/||\vec{g}||T \\
  \frac{DT}{Dt}       &=             Pe^{-1}(\Delta T + Br \Phi) \\
  \nabla \cdot u    &= 0

\end{align} </math>

Equação de Euler

Negligenciando os termos fontes, se <math>Re</math> tende a infinito obtemos

<math> \frac{D\vec{u}}{Dt} = -\nabla p </math>

e se <math>Re</math> tende a 0 (e multiplicando por <math>Re</math>) obtemos a equação de Stokes

<math> \frac{d\vec{u}}{dt} = -\nabla p + \Delta \vec{u} </math>

Mudança de variáveis primitivas

Veja Mudança de Variáveis