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Introdução
Plano de aula utilizando o Geogebra:
- Alunos em duplas para discutir as alterações sofridas nos gráficos que será visualizado dentro do programa Geogebra;
- Tempo necessário: 3 períodos de aula;
- Conteúdo trabalhado em turmas de 3º ano do ensino médio
Objetivo
Entender as alterações dos gráficos do seno e cosseno para realização de exercícios da prova de vestibular da UFRGS.
Conteúdo envolvido
Função Trigonométrica: Seno e Cosseno
Procedimento
- Começarei a aula orientando os alunos a construir os gráficos do seno e do cosseno utilizando o Geogebra.
- trabalhar as situações a seguir, pedindo aos alunos que insiram os dados no Geogebra observando as mudanças no gráfico:
Situação 1: Consideremos a função seno cuja expressão é dada por y=f1(x)=sen(x)+k, onde k é uma constante real. Qual a ação da constante k no gráfico desta nova função quando comparado ao gráfico da função inicial y=sen(x)?
Fazer uma tabela e aplicar, supondo k=1
x | sen(x) | sen(x)+k |
0 | 0 | 1 |
90º ou π | 1 | 2 |
270º ou 3π/2 | -1 | 0 |
Observar que o gráfico se altera na imagem
Situação 2: Vejamos agora a função seno cuja expressão é dada por y=f(x)=sen(x+k), onde k é uma constante real. Qual a ação da constante k no gráfico desta nova função quando comparado ao gráfico da função inicial y=sen(x)?
Fazer uma tabela e aplicar, supondo k=π/2
x | sen(x) | (x+k) | sen(x+k) |
0 | 0 | π/2 | 1 |
π/2 | 1 | π | -1 |
π | 0 | 3π/2 | 0 |
3π/2 | -1 | 2π | 1 |
Observar que o gráfico se altera no domínio.
Situação 3: Vamos pensar agora numa função seno dada pela expressão f(x)=a.sen(x), onde a é uma constante real, sendo a diferente de 0, pois, se a=0 teremos uma função constante real nula.
Fazer uma tabela e aplicar, supondo a=2 (a>0)
x | sen(x) | 2sen(x) |
0 | 0 | 0 |
90 ou π/2 | 1 | 2 |
3π/2 | -1 | -2 |
Fazer uma tabela e aplicar, supondo a=-4 (a<0)
x | sen(x) | 4sen(x) |
0 | 0 | 0 |
90 ou π/2 | 1 | -4 |
3π/2 | -1 | 4 |
Situação 4: Finalmente podemos pensar numa função seno dada pela expressão f(x)=sen(bx), onde b é uma constante real não nula.
Fazer uma tabela e aplicar, supondo b=2 (b>0)
x | 2x | sen(2x) |
0 | 0 | 0 |
π/2 | π | 0 |
π | 2π | 0 |
π/4 | π/2 | 1 |
3π/4 | 3π/2 | -1 |
Fazer uma tabela e aplicar, supondo b=1/2 (0<b<1)
x | x/2 | sen(x/2) |
0 | 0 | 0 |
π | π/2 | 1 |
2π | π | 0 |
3π | 3π/2 | -1 |
4π | 2π | 0 |
Situação 5: Vamos pensar agora na função módulo. Vamos verificar a diferença entre y=|sen(x)| e y=sen|x|
Fazer uma tabela e aplicar conforme abaixo:
x | 2sen(x) | modulo (sen(x)) |
-π/2 | -2 | 2 |
0 | 0 | 0 |
90 ou π/2 | 2 | 2 |
π | 0 | 0 |
270 ou 3π/2 | -2 | 2 |
Observar que a imagem passa a estar no intervalo [0;2]
Vejamos como fica o gráfico de y=2sen|x|
x | 2sen(x) | x| |
-3π/2 | 2 | -2 |
-π/2 | -2 | 2 |
0 | 0 | 0 |
π/2 | 2 | 2 |
π | 0 | 0 |
3π/2 | -2 | -2 |
OBSERVAR QUE, DA MESMA FORMA QUE O SENO, PARA O COSSENO AS ALTERAÇÕES SÃO AS MESMAS, JÁ QUE sen(x+π/2)=cos(x)
Avaliação
Solicitar aos alunos que resolvam os exercícios abaixo com base nas conclusões que chegaram depois de trabalhar nos gráficos com o Geogebra:
01. (UFRGS 2005) O número de soluções da equação 2cos(x) que pertencem ao intervalo [-16π/3,16π/3] é:
- a) 8.
- b) 9.
- c) 10.
- d) 11.
- e) 12.
02. (UFRGS 2008) Traçando-se os gráficos das funções definidas por f(x)=2sen(x) e g(x)=16-x^2 num mesmo sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, pode-se verificar que o número de soluções da equação f(x)=g(x) é
- a) 0.
- b) 1.
- c) 2.
- d) 3.
- e) 4.
03. (UFRGS 2010) O Período da função definida por f(x)=sen(3x-π/2) é
- a) π/2.
- b) 2π/3.
- c) 5π/6.
- d) π.
- e) 2π.
04. (UFRGS 2011) Traçando os gráficos das funções f e g definidas por f(x)=|sex(x)| e g(x)=|cos(x)|, com x variando no conjunto dos números reais de -2π a 2π, no mesmo sistema de coordenadas, o número de interseções é
- a) 7.
- b) 8.
- c) 9.
- d) 10.
- e) 12.
05. (UFRGS 2012) O número de interseções da função f(x)=sen(5x) com o eixo das abscissas no intervalo [-2π,2π] é
- a) 10.
- b) 14.
- c) 21.
- d) 24.
- e) 27