Mudanças entre as edições de "Mudança de Variáveis"
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+ | \vec{u}_t + (\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} &= -\nabla p +\displaystyle\frac{1}{Re}\nabla^2 \vec{u} \\ | ||
+ | \nabla \cdot u &= 0 | ||
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− | + | onde <math>\vec{u}</math> é a velocidade e ''p'' é a pressão. | |
− | Função corrente <math> \psi </math>: <math>\vec{u} = (\nabla\psi)\times k</math> | + | Novas variáveis |
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+ | ;Vorticidade: <math>\zeta = \nabla \times \vec{u} \cdot \vec{k}</math> | ||
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Assim | Assim | ||
<math>\nabla\cdot\vec{u} = \nabla \cdot(\nabla\psi\times k) = \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial \psi}{\partial y} \right) + \frac{\partial}{\partial y}\left( -\frac{\partial \psi}{\partial x} \right) =0 </math> | <math>\nabla\cdot\vec{u} = \nabla \cdot(\nabla\psi\times k) = \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial \psi}{\partial y} \right) + \frac{\partial}{\partial y}\left( -\frac{\partial \psi}{\partial x} \right) =0 </math> | ||
+ | ===Identidades Vetoriais=== | ||
+ | <math> (\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} | ||
+ | = (\nabla \times \vec{u})\times \vec{u} + \nabla\left( \frac{1}{2}||\vec{u}||^2 \right) | ||
+ | = \zeta k \times \vec{u} + \nabla\left( \frac{1}{2}||\vec{u}||^2 \right),\quad\quad \text{Identidade 1}</math> | ||
− | + | <math> \nabla \times (\vec{a} \times \vec{b}) | |
− | + | = \vec{a} \nabla \cdot \vec{b} - \vec{b} \nabla \cdot \vec{a} | |
− | + | + (\vec{b} \cdot \nabla)\vec{a} - (\vec{a} \cdot \nabla)\vec{b},\quad\quad\text{Identidade 2}</math> | |
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+ | ===Transformação=== | ||
Aplicando <math> \nabla \times </math> na equação | Aplicando <math> \nabla \times </math> na equação | ||
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<math> \nabla\times(\zeta\vec{k}\times\vec{u}) = (\vec{u}\cdot\nabla)\nabla\times\vec{u} = (\vec{u}\cdot\nabla)\zeta\vec{u} </math> | <math> \nabla\times(\zeta\vec{k}\times\vec{u}) = (\vec{u}\cdot\nabla)\nabla\times\vec{u} = (\vec{u}\cdot\nabla)\zeta\vec{u} </math> | ||
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Portanto | Portanto | ||
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<math> (\zeta\vec{k})_t + (\vec{u}\cdot\nabla)\zeta\vec{k} = \frac{1}{Re}\nabla^2(\zeta\vec{k}) </math> | <math> (\zeta\vec{k})_t + (\vec{u}\cdot\nabla)\zeta\vec{k} = \frac{1}{Re}\nabla^2(\zeta\vec{k}) </math> | ||
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Então | Então | ||
<math>(\zeta\vec{k})_t + J(\zeta,\psi)\vec{k} = \frac{1}{Re}\nabla^2(\zeta\vec{k}) </math> | <math>(\zeta\vec{k})_t + J(\zeta,\psi)\vec{k} = \frac{1}{Re}\nabla^2(\zeta\vec{k}) </math> | ||
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− | + | Assim, as equações de Navier-Stokes nas variáveis vorticidade e função corrente tornam-se | |
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− | \zeta_t + J(\zeta,\psi) = \displaystyle\frac{1}{Re}\nabla^2\zeta \\ | + | \begin{align} |
− | + | \zeta_t + J(\zeta,\psi) &= \displaystyle\frac{1}{Re}\nabla^2\zeta \\ | |
− | \end{ | + | -\nabla^2\psi &= \zeta |
− | + | \end{align} | |
+ | </math> |
Edição atual tal como às 10h57min de 2 de julho de 2009
Veja Navier-Stokes.
<math> \begin{align}
\vec{u}_t + (\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} &= -\nabla p +\displaystyle\frac{1}{Re}\nabla^2 \vec{u} \\ \nabla \cdot u &= 0
\end{align} </math>
onde <math>\vec{u}</math> é a velocidade e p é a pressão.
Novas variáveis
- Vorticidade
- <math>\zeta = \nabla \times \vec{u} \cdot \vec{k}</math>
- Função corrente <math> \psi </math>
- <math>\vec{u} = (\nabla\psi)\times k</math>
Assim <math>\nabla\cdot\vec{u} = \nabla \cdot(\nabla\psi\times k) = \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial \psi}{\partial y} \right) + \frac{\partial}{\partial y}\left( -\frac{\partial \psi}{\partial x} \right) =0 </math>
Identidades Vetoriais
<math> (\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u}
= (\nabla \times \vec{u})\times \vec{u} + \nabla\left( \frac{1}{2}||\vec{u}||^2 \right) = \zeta k \times \vec{u} + \nabla\left( \frac{1}{2}||\vec{u}||^2 \right),\quad\quad \text{Identidade 1}</math>
<math> \nabla \times (\vec{a} \times \vec{b})
= \vec{a} \nabla \cdot \vec{b} - \vec{b} \nabla \cdot \vec{a} + (\vec{b} \cdot \nabla)\vec{a} - (\vec{a} \cdot \nabla)\vec{b},\quad\quad\text{Identidade 2}</math>
Transformação
Aplicando <math> \nabla \times </math> na equação
<math> (\nabla \times \vec{u})_t + \nabla \times \{ (\vec{u} \cdot \nabla)\vec{u} \} = \frac{1}{Re}\nabla^2(\nabla \times \vec{u}) </math>
Usando a identidade (1)
<math> (\nabla \times \vec{u})_t + \nabla \times (\zeta \vec{k} \times \vec{u}) = \frac{1}{Re}\nabla^2(\nabla \times \vec{u}) </math>
<math> (\zeta\vec{k})_t + \nabla\times(\zeta\vec{k}\times\vec{u}) = \frac{1}{Re}\nabla^2(\zeta\vec{k}) </math>
Da identidade (2) com <math> \vec{a}=\nabla\times\vec{u} </math> e <math> \vec{b}=\vec{u} </math> e usando que <math> \nabla\cdot\vec{u}=0 </math>, temos
<math> \nabla\times(\zeta\vec{k}\times\vec{u}) = \nabla \times \{(\nabla\times\vec{u})\times\vec{u}\} = (\vec{u}\cdot\nabla)\nabla\times\vec{u} - (\nabla\times\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} </math>
<math> \vec{u} = \vec{u}(x,y,t) \Longrightarrow (\nabla\times\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u}=0 </math>
pois <math> \vec{u} </math> não depende de <math> z </math> .
Segue-se que
<math> \nabla\times(\zeta\vec{k}\times\vec{u}) = (\vec{u}\cdot\nabla)\nabla\times\vec{u} = (\vec{u}\cdot\nabla)\zeta\vec{u} </math>
Portanto
<math> (\zeta\vec{k})_t + (\vec{u}\cdot\nabla)\zeta\vec{k} = \frac{1}{Re}\nabla^2(\zeta\vec{k}) </math>
<math> \vec{u} = \nabla\psi\times\vec{k} \Longrightarrow (\vec{u}\cdot\nabla)\zeta\vec{k} = \frac{\partial(\zeta,\psi)}{\partial(x,y)}\vec{k} = J(\zeta,\psi)\vec{k} </math>
Então <math>(\zeta\vec{k})_t + J(\zeta,\psi)\vec{k} = \frac{1}{Re}\nabla^2(\zeta\vec{k}) </math>
Além disso, como <math> \vec{u} = \nabla\psi\times\vec{k} </math> e <math> \zeta = \nabla\times\vec{u}\cdot\vec{k} </math> temos
<math> \nabla\times(\nabla\psi\times\vec{k})=\nabla\times(\psi_y,-\psi_x) = -\psi_{xx}-\psi_{yy} = -\nabla^2\psi </math>
Ou seja
<math>-\nabla^2\psi = \zeta </math>
Assim, as equações de Navier-Stokes nas variáveis vorticidade e função corrente tornam-se
<math> \begin{align}
\zeta_t + J(\zeta,\psi) &= \displaystyle\frac{1}{Re}\nabla^2\zeta \\ -\nabla^2\psi &= \zeta
\end{align} </math>