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Introdução

Plano de aula utilizando o Geogebra:

• Alunos em duplas para discutir as alterações sofridas nos gráficos que será visualizado dentro do programa Geogebra;
• Tempo necessário: 3 períodos de aula;
• Conteúdo trabalhado em turmas de 3º ano do ensino médio

Objetivo

Entender as alterações dos gráficos do seno e cosseno para realização de exercícios da prova de vestibular da UFRGS.

Conteúdo envolvido

Função Trigonométrica: Seno e Cosseno

Procedimento

1. Começarei a aula orientando os alunos a construir os gráficos do seno e do cosseno utilizando o Geogebra.
2. trabalhar as situações a seguir, pedindo aos alunos que insiram os dados no Geogebra observando as mudanças no gráfico:

Situação 1: Consideremos a função seno cuja expressão é dada por y=f1(x)=sen(x)+k, onde k é uma constante real. Qual a ação da constante k no gráfico desta nova função quando comparado ao gráfico da função inicial y=sen(x)?

Fazer uma tabela e aplicar, supondo k=1

x	sen(x)	sen(x)+k
0	0	1
90º ou π	1	2
270º ou 3π/2	-1	0

Observar que o gráfico se altera na imagem

Situação 2: Vejamos agora a função seno cuja expressão é dada por y=f(x)=sen(x+k), onde k é uma constante real. Qual a ação da constante k no gráfico desta nova função quando comparado ao gráfico da função inicial y=sen(x)?

Fazer uma tabela e aplicar, supondo k=π/2

x	sen(x)	(x+k)	sen(x+k)
0	0	π/2	1
π/2	1	π	-1
π	0	3π/2	0
3π/2	-1	2π	1

Observar que o gráfico se altera no domínio.

Situação 3: Vamos pensar agora numa função seno dada pela expressão f(x)=a.sen(x), onde a é uma constante real, sendo a diferente de 0, pois, se a=0 teremos uma função constante real nula.

Fazer uma tabela e aplicar, supondo a=2 (a>0)

x	sen(x)	2sen(x)
0	0	0
90 ou π/2	1	2
3π/2	-1	-2

Fazer uma tabela e aplicar, supondo a=-4 (a<0)

x	sen(x)	4sen(x)
0	0	0
90 ou π/2	1	-4
3π/2	-1	4

Situação 4: Finalmente podemos pensar numa função seno dada pela expressão f(x)=sen(bx), onde b é uma constante real não nula.

Fazer uma tabela e aplicar, supondo b=2 (b>0)

x	2x	sen(2x)
0	0	0
π/2	π	0
π	2π	0
π/4	π/2	1
3π/4	3π/2	-1

Fazer uma tabela e aplicar, supondo b=1/2 (0<b<1)

x	x/2	sen(x/2)
0	0	0
π	π/2	1
2π	π	0
3π	3π/2	-1
4π	2π	0

Situação 5: Vamos pensar agora na função módulo. Vamos verificar a diferença entre y=|sen(x)| e y=sen|x|

Fazer uma tabela e aplicar conforme abaixo:

x	2sen(x)	modulo (sen(x))
-π/2	-2	2
0	0	0
90 ou π/2	2	2
π	0	0
270 ou 3π/2	-2	2

Observar que a imagem passa a estar no intervalo [0;2]

Vejamos como fica o gráfico de y=2sen|x|

x	2sen(x)	x|
-3π/2	2	-2
-π/2	-2	2
0	0	0
π/2	2	2
π	0	0
3π/2	-2	-2

OBSERVAR QUE, DA MESMA FORMA QUE O SENO, PARA O COSSENO AS ALTERAÇÕES SÃO AS MESMAS, JÁ QUE sen(x+π/2)=cos(x)

Avaliação

Solicitar aos alunos que resolvam os exercícios abaixo com base nas conclusões que chegaram depois de trabalhar nos gráficos com o Geogebra:

01. (UFRGS 2005) O número de soluções da equação 2cos(x) que pertencem ao intervalo [-16π/3,16π/3] é:

1. a) 8.
2. b) 9.
3. c) 10.
4. d) 11.
5. e) 12.

02. (UFRGS 2008) Traçando-se os gráficos das funções definidas por f(x)=2sen(x) e g(x)=16-x^2 num mesmo sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, pode-se verificar que o número de soluções da equação f(x)=g(x) é

1. a) 0.
2. b) 1.
3. c) 2.
4. d) 3.
5. e) 4.

03. (UFRGS 2010) O Período da função definida por f(x)=sen(3x-π/2) é

1. a) π/2.
2. b) 2π/3.
3. c) 5π/6.
4. d) π.
5. e) 2π.

04. (UFRGS 2011) Traçando os gráficos das funções f e g definidas por f(x)=|sex(x)| e g(x)=|cos(x)|, com x variando no conjunto dos números reais de -2π a 2π, no mesmo sistema de coordenadas, o número de interseções é

1. a) 7.
2. b) 8.
3. c) 9.
4. d) 10.
5. e) 12.

05. (UFRGS 2012) O número de interseções da função f(x)=sen(5x) com o eixo das abscissas no intervalo [-2π,2π] é

1. a) 10.
2. b) 14.
3. c) 21.
4. d) 24.
5. e) 27