Mudanças entre as edições de "Mudança de Variáveis"

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m (Equações de Navier-Stokes)
 
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Linha 1: Linha 1:
;Equação de Navier-Stokes:
+
Veja [[Navier-Stokes]].
<math> \left\{\begin{array}{l}
 
  \vec{u}_t + (\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} = -\nabla p +\displaystyle\frac{1}{Re}\nabla^2 \vec{u} \\
 
\nabla \cdot u = 0\\
 
\end{array}
 
\right. </math>
 
  
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===Equações de Navier-Stokes===
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<math> \begin{align}
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  \vec{u}_t + (\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} &= -\nabla p +\displaystyle\frac{1}{Re}\nabla^2 \vec{u} \\
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  \nabla \cdot u                            &= 0
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\end{align}
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</math>
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onde <math>\vec{u}</math> é a velocidade e ''p'' é a pressão.
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Novas variáveis
  
 
;Vorticidade: <math>\zeta = \nabla \times \vec{u} \cdot \vec{k}</math>
 
;Vorticidade: <math>\zeta = \nabla \times \vec{u} \cdot \vec{k}</math>
Linha 14: Linha 19:
 
<math>\nabla\cdot\vec{u} =  \nabla \cdot(\nabla\psi\times k) = \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial \psi}{\partial y} \right) +  \frac{\partial}{\partial y}\left( -\frac{\partial \psi}{\partial x} \right) =0  </math>
 
<math>\nabla\cdot\vec{u} =  \nabla \cdot(\nabla\psi\times k) = \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial \psi}{\partial y} \right) +  \frac{\partial}{\partial y}\left( -\frac{\partial \psi}{\partial x} \right) =0  </math>
  
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===Identidades Vetoriais===
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<math> (\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u}
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= (\nabla \times \vec{u})\times \vec{u} + \nabla\left( \frac{1}{2}||\vec{u}||^2 \right)
 +
= \zeta k \times \vec{u} + \nabla\left( \frac{1}{2}||\vec{u}||^2 \right),\quad\quad \text{Identidade 1}</math>   
  
Identidade 1) <math> (\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} = (\nabla \times \vec{u})\times \vec{u} + \nabla\left( \frac{1}{2}||\vec{u}||^2 \right) = \zeta k \times \vec{u} + \nabla\left( \frac{1}{2}||\vec{u}||^2 \right) </math>
+
<math> \nabla \times (\vec{a} \times \vec{b})
 
+
= \vec{a} \nabla \cdot \vec{b} - \vec{b} \nabla \cdot \vec{a}  
Identidade 2) <math> \nabla \times (\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{a} \nabla \cdot \vec{b} - \vec{b} \nabla \cdot \vec{a} + (\vec{b} \cdot \nabla)\vec{a} - (\vec{a} \cdot \nabla)\vec{b} </math>
+
+ (\vec{b} \cdot \nabla)\vec{a} - (\vec{a} \cdot \nabla)\vec{b},\quad\quad\text{Identidade 2}</math>
 
 
  
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===Transformação===
 
Aplicando <math> \nabla \times </math> na equação
 
Aplicando <math> \nabla \times </math> na equação
  
Linha 43: Linha 52:
  
 
<math> \nabla\times(\zeta\vec{k}\times\vec{u}) = (\vec{u}\cdot\nabla)\nabla\times\vec{u} = (\vec{u}\cdot\nabla)\zeta\vec{u}  </math>  
 
<math> \nabla\times(\zeta\vec{k}\times\vec{u}) = (\vec{u}\cdot\nabla)\nabla\times\vec{u} = (\vec{u}\cdot\nabla)\zeta\vec{u}  </math>  
 +
 
Portanto
 
Portanto
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<math> (\zeta\vec{k})_t + (\vec{u}\cdot\nabla)\zeta\vec{k} = \frac{1}{Re}\nabla^2(\zeta\vec{k}) </math>  
 
<math> (\zeta\vec{k})_t + (\vec{u}\cdot\nabla)\zeta\vec{k} = \frac{1}{Re}\nabla^2(\zeta\vec{k}) </math>  
  
Linha 50: Linha 61:
 
Então
 
Então
 
<math>(\zeta\vec{k})_t + J(\zeta,\psi)\vec{k} = \frac{1}{Re}\nabla^2(\zeta\vec{k}) </math>  
 
<math>(\zeta\vec{k})_t + J(\zeta,\psi)\vec{k} = \frac{1}{Re}\nabla^2(\zeta\vec{k}) </math>  
 
 
 
 
  
  
Linha 69: Linha 76:
  
  
E as equações ficam
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Assim, as equações de Navier-Stokes nas variáveis vorticidade e função corrente tornam-se
  
<math> \left\{\begin{array}{l}
+
<math>
   \zeta_t + J(\zeta,\psi) = \displaystyle\frac{1}{Re}\nabla^2\zeta \\
+
\begin{align}
-\nabla^2\psi = \zeta \\
+
   \zeta_t + J(\zeta,\psi) &= \displaystyle\frac{1}{Re}\nabla^2\zeta \\
\end{array}
+
            -\nabla^2\psi &= \zeta
\right. </math>
+
\end{align}
 +
</math>

Edição atual tal como às 10h57min de 2 de julho de 2009

Veja Navier-Stokes.

Equações de Navier-Stokes

<math> \begin{align}

  \vec{u}_t + (\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} &= -\nabla p +\displaystyle\frac{1}{Re}\nabla^2 \vec{u} \\
  \nabla \cdot u                             &= 0

\end{align} </math>

onde <math>\vec{u}</math> é a velocidade e p é a pressão.

Novas variáveis

Vorticidade
<math>\zeta = \nabla \times \vec{u} \cdot \vec{k}</math>
Função corrente <math> \psi </math>
<math>\vec{u} = (\nabla\psi)\times k</math>

Assim <math>\nabla\cdot\vec{u} = \nabla \cdot(\nabla\psi\times k) = \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial \psi}{\partial y} \right) + \frac{\partial}{\partial y}\left( -\frac{\partial \psi}{\partial x} \right) =0 </math>

Identidades Vetoriais

<math> (\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u}

= (\nabla \times \vec{u})\times \vec{u} + \nabla\left( \frac{1}{2}||\vec{u}||^2 \right)
= \zeta k \times \vec{u} + \nabla\left( \frac{1}{2}||\vec{u}||^2 \right),\quad\quad \text{Identidade 1}</math>     

<math> \nabla \times (\vec{a} \times \vec{b})

= \vec{a} \nabla \cdot \vec{b} - \vec{b} \nabla \cdot \vec{a} 
+ (\vec{b} \cdot \nabla)\vec{a} - (\vec{a} \cdot \nabla)\vec{b},\quad\quad\text{Identidade 2}</math>

Transformação

Aplicando <math> \nabla \times </math> na equação

<math> (\nabla \times \vec{u})_t + \nabla \times \{ (\vec{u} \cdot \nabla)\vec{u} \} = \frac{1}{Re}\nabla^2(\nabla \times \vec{u}) </math>

Usando a identidade (1)

<math> (\nabla \times \vec{u})_t + \nabla \times (\zeta \vec{k} \times \vec{u}) = \frac{1}{Re}\nabla^2(\nabla \times \vec{u}) </math>

<math> (\zeta\vec{k})_t + \nabla\times(\zeta\vec{k}\times\vec{u}) = \frac{1}{Re}\nabla^2(\zeta\vec{k}) </math>


Da identidade (2) com <math> \vec{a}=\nabla\times\vec{u} </math> e <math> \vec{b}=\vec{u} </math> e usando que <math> \nabla\cdot\vec{u}=0 </math>, temos

<math> \nabla\times(\zeta\vec{k}\times\vec{u}) = \nabla \times \{(\nabla\times\vec{u})\times\vec{u}\} = (\vec{u}\cdot\nabla)\nabla\times\vec{u} - (\nabla\times\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} </math>


<math> \vec{u} = \vec{u}(x,y,t) \Longrightarrow (\nabla\times\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u}=0 </math>

pois <math> \vec{u} </math> não depende de <math> z </math> .

Segue-se que

<math> \nabla\times(\zeta\vec{k}\times\vec{u}) = (\vec{u}\cdot\nabla)\nabla\times\vec{u} = (\vec{u}\cdot\nabla)\zeta\vec{u} </math>

Portanto

<math> (\zeta\vec{k})_t + (\vec{u}\cdot\nabla)\zeta\vec{k} = \frac{1}{Re}\nabla^2(\zeta\vec{k}) </math>

<math> \vec{u} = \nabla\psi\times\vec{k} \Longrightarrow (\vec{u}\cdot\nabla)\zeta\vec{k} = \frac{\partial(\zeta,\psi)}{\partial(x,y)}\vec{k} = J(\zeta,\psi)\vec{k} </math>

Então <math>(\zeta\vec{k})_t + J(\zeta,\psi)\vec{k} = \frac{1}{Re}\nabla^2(\zeta\vec{k}) </math>


Além disso, como <math> \vec{u} = \nabla\psi\times\vec{k} </math> e <math> \zeta = \nabla\times\vec{u}\cdot\vec{k} </math> temos

<math> \nabla\times(\nabla\psi\times\vec{k})=\nabla\times(\psi_y,-\psi_x) = -\psi_{xx}-\psi_{yy} = -\nabla^2\psi </math>

Ou seja

<math>-\nabla^2\psi = \zeta </math>



Assim, as equações de Navier-Stokes nas variáveis vorticidade e função corrente tornam-se

<math> \begin{align}

 \zeta_t + J(\zeta,\psi) &= \displaystyle\frac{1}{Re}\nabla^2\zeta \\
           -\nabla^2\psi &= \zeta

\end{align} </math>